O fabricante de uma lâmpada especial afirma que seu produto tem vida média de 1600 horas, com desvio padrão de 250 horas. O dono de uma empresa compra 100 lâmpadas desse fabricante. Supondo verdadeira a afirmação do fabricante, qual é a probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1650 horas? Qual é a suposição necessária para calcular essa probabilidade?
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um fabricante que diz que suas lâmpadas duram, em média, 1600 horas, com um desvio padrão de 250 horas. Você comprou 100 dessas lâmpadas e quer saber qual a chance de a média da vida útil delas passar de 1650 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente de probabilidade e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a média amostral. Quando você tem uma amostra grande, como 100 lâmpadas, a distribuição das médias tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja. Isso é graças ao Teorema Central do Limite.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da média amostral. A fórmula para isso é:
Onde:
-
é o desvio padrão da população (250 horas) -
é o tamanho da amostra (100 lâmpadas)
Então,
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de a média amostral ser maior que 1650 horas. Para isso, calculamos o valor z, que nos diz quantos desvios padrões a média de 1650 está acima da média esperada de 1600.
A fórmula para o valor z é:
Onde:
-
é a média amostral desejada (1650 horas) -
é a média da população (1600 horas) -
é o desvio padrão da média amostral (25 horas)
Então,
Passo 5
Com o valor z calculado, usamos uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora de probabilidades para encontrar a probabilidade de z ser maior que 2.
Consultando a tabela, vemos que a probabilidade de z ser menor que 2 é aproximadamente 0,9772. Mas queremos a probabilidade de ser maior que 2, então subtraímos isso de 1:
Resposta
A probabilidade de que a vida média das 100 lâmpadas ultrapasse 1650 horas é de aproximadamente 2,28%. A suposição necessária para calcular essa probabilidade é que a distribuição das médias amostrais das lâmpadas segue uma distribuição normal, o que é válido pelo Teorema Central do Limite devido ao tamanho da amostra ser grande (100 lâmpadas).