O fabricante de uma lâmpada especial afirma que seu produto tem vida média de 1600 horas, com desvio padrão de 250 horas. O dono de uma empresa compra 100 lâmpadas desse fabricante. Supondo verdadeira a afirmação do fabricante, qual é a probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1650 horas? Qual é a suposição necessária para calcular essa probabilidade?

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um fabricante que diz que suas lâmpadas duram, em média, 1600 horas, com um desvio padrão de 250 horas. Você comprou 100 dessas lâmpadas e quer saber qual a chance de a média da vida útil delas passar de 1650 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente de probabilidade e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a média amostral. Quando você tem uma amostra grande, como 100 lâmpadas, a distribuição das médias tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja. Isso é graças ao Teorema Central do Limite.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da média amostral. A fórmula para isso é:
Onde:
  • é o desvio padrão da população (250 horas)
  • é o tamanho da amostra (100 lâmpadas)
Então,

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de a média amostral ser maior que 1650 horas. Para isso, calculamos o valor z, que nos diz quantos desvios padrões a média de 1650 está acima da média esperada de 1600.
A fórmula para o valor z é:
Onde:
  • é a média amostral desejada (1650 horas)
  • é a média da população (1600 horas)
  • é o desvio padrão da média amostral (25 horas)
Então,

Passo 5

Com o valor z calculado, usamos uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora de probabilidades para encontrar a probabilidade de z ser maior que 2.
Consultando a tabela, vemos que a probabilidade de z ser menor que 2 é aproximadamente 0,9772. Mas queremos a probabilidade de ser maior que 2, então subtraímos isso de 1:

Resposta

A probabilidade de que a vida média das 100 lâmpadas ultrapasse 1650 horas é de aproximadamente 2,28%. A suposição necessária para calcular essa probabilidade é que a distribuição das médias amostrais das lâmpadas segue uma distribuição normal, o que é válido pelo Teorema Central do Limite devido ao tamanho da amostra ser grande (100 lâmpadas).

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Suponha que, para um certo tipo de automóvel, o consumo de combustível tenha distribuição normal. Para estimar o consumo médio de combustível dos automóveis desse tipo, coletou-se uma amostra de 20 automóveis desse modelo, obtendo para essa amostra um consumo médio de e desvio padrão de .
b) Construa novamente o intervalo de confiança assumindo que um estudo anterior indicou que o desvio padrão do consumo de combustível é igual a .
Seja uma variável aleatória Normal padrão, determine as seguintes probabilidades:
Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25
26 27 29 29 30 32 36 42 44 45
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97
(a) Use cinco intervalos e construa um histograma.
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© Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se qual é a probabilidade de que o peso médio dos pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas?