Exercício 6. Tem-se duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional
. Para ajudar a escolher a melhor, simulou-se uma situação em que
. Dessa população retiraramse 1.000 amostras de dez unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fórmulas às dez unidades de cada amostra. Desse modo, obtêm-se 1.000 valores para a primeira fórmula
e outros 1.000 valores para a segunda fórmula
, cujos estudos descritivos estão resumidos abaixo.
Fórmula 1
Fórmula 2
Mediana
Mediana
Qual das duas fórmulas você acha mais conveniente para estimar
? Por quê?
Fórmula 1 | Fórmula 2 |
|
|
|
|
Mediana
|
Mediana
|
Passo 1
Beleza, vamos lá entender o que a gente tem nesse exercício. A gente está trabalhando com Estatística, mais especificamente com estimadores de parâmetros populacionais. Aqui, temos um parâmetro populacional chamado
, que vale 100. Tiramos 1.000 amostras, cada uma com 10 unidades, e aplicamos duas fórmulas diferentes para estimar esse
. Queremos descobrir qual das duas fórmulas é mais conveniente para fazer essa estimativa.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a média das estimativas de cada fórmula. A Fórmula 1 tem uma média de
, enquanto a Fórmula 2 tem
. A média nos mostra, em média, qual o valor que a fórmula está estimando para
. A Fórmula 2 está exatamente no valor real de
, o que já é um bom sinal.
Passo 3
Agora, vamos ver a variância de cada fórmula. A variância nos indica o quanto as estimativas estão espalhadas em torno da média. A Fórmula 1 tem uma variância de
, e a Fórmula 2 tem
. Isso significa que as estimativas da Fórmula 1 são mais consistentes e menos dispersas comparadas com as da Fórmula 2.
Passo 4
Além da média e da variância, temos também a mediana de cada fórmula. A mediana da Fórmula 1 é 101, e a da Fórmula 2 é 100. A mediana é o valor que separa a metade superior da metade inferior dos dados. Novamente, a Fórmula 2 está mais alinhada com o valor real de
.
Passo 5
Agora, vamos pensar sobre viés e erro quadrático médio (EQM). O viés é a diferença entre a média das estimativas e o valor real do parâmetro. Para a Fórmula 1, o viés é
, enquanto para a Fórmula 2 é
. Um viés menor é melhor porque quer dizer que, na média, a fórmula está mais próxima do valor real.
O EQM combina o viés e a variância:
. Para a Fórmula 1,
. Para a Fórmula 2,
. Aqui, a Fórmula 1 tem um EQM menor, indicando que, apesar do viés, ela é ligeiramente melhor em termos de precisão geral.
Passo 6
No entanto, é importante considerar qual aspecto é mais crucial para a nossa análise: viés ou variância. Se preferirmos uma estimativa que seja, em média, correta (sem viés), mesmo que tenha mais variação, a Fórmula 2 é melhor. Mas se valorizarmos mais a consistência das estimativas, a Fórmula 1 é preferível.
Resposta
A Fórmula 2 é mais conveniente para estimar
porque ela não apresenta viés, ou seja, a média das suas estimativas está exatamente no valor real de
. Embora a variância da Fórmula 2 seja maior, a ausência de viés torna a estimativa mais confiável em termos de precisão média.
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