Exercício 6. Tem-se duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional theta. Para ajudar a escolher a melhor, simulou-se uma situação em que theta=100. Dessa população retiraramse 1.000 amostras de dez unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fórmulas às dez unidades de cada amostra. Desse modo, obtêm-se 1.000 valores para a primeira fórmula t1 e outros 1.000 valores para a segunda fórmula t2, cujos estudos descritivos estão resumidos abaixo.
Fórmula 1 Fórmula 2
c|c Fórmula 1 & Fórmula 2 hline $bart1=102$ & $bart2=100$ $Var(t1)=5$ & $Var(t2)=10$ Mediana $=101$ & Mediana $=100$ theta
Mediana Mediana
Qual das duas fórmulas você acha mais conveniente para estimar ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá entender o que a gente tem nesse exercício. A gente está trabalhando com Estatística, mais especificamente com estimadores de parâmetros populacionais. Aqui, temos um parâmetro populacional chamado theta, que vale 100. Tiramos 1.000 amostras, cada uma com 10 unidades, e aplicamos duas fórmulas diferentes para estimar esse theta. Queremos descobrir qual das duas fórmulas é mais conveniente para fazer essa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a média das estimativas de cada fórmula. A Fórmula 1 tem uma média de bart1 = 102, enquanto a Fórmula 2 tem bart2 = 100. A média nos mostra, em média, qual o valor que a fórmula está estimando para theta. A Fórmula 2 está exatamente no valor real de theta = 100, o que já é um bom sinal.

Passo 3

Agora, vamos ver a variância de cada fórmula. A variância nos indica o quanto as estimativas estão espalhadas em torno da média. A Fórmula 1 tem uma variância de Var(t1) = 5, e a Fórmula 2 tem Var(t2) = 10. Isso significa que as estimativas da Fórmula 1 são mais consistentes e menos dispersas comparadas com as da Fórmula 2.

Passo 4

Além da média e da variância, temos também a mediana de cada fórmula. A mediana da Fórmula 1 é 101, e a da Fórmula 2 é 100. A mediana é o valor que separa a metade superior da metade inferior dos dados. Novamente, a Fórmula 2 está mais alinhada com o valor real de theta.

Passo 5

Agora, vamos pensar sobre viés e erro quadrático médio (EQM). O viés é a diferença entre a média das estimativas e o valor real do parâmetro. Para a Fórmula 1, o viés é 102 - 100 = 2, enquanto para a Fórmula 2 é 100 - 100 = 0. Um viés menor é melhor porque quer dizer que, na média, a fórmula está mais próxima do valor real.
O EQM combina o viés e a variância: EQM = Viés^2 + Variânciaéâ. Para a Fórmula 1, EQM = 2^2 + 5 = 9. Para a Fórmula 2, EQM = 0^2 + 10 = 10. Aqui, a Fórmula 1 tem um EQM menor, indicando que, apesar do viés, ela é ligeiramente melhor em termos de precisão geral.

Passo 6

No entanto, é importante considerar qual aspecto é mais crucial para a nossa análise: viés ou variância. Se preferirmos uma estimativa que seja, em média, correta (sem viés), mesmo que tenha mais variação, a Fórmula 2 é melhor. Mas se valorizarmos mais a consistência das estimativas, a Fórmula 1 é preferível.

Resposta

A Fórmula 2 é mais conveniente para estimar theta porque ela não apresenta viés, ou seja, a média das suas estimativas está exatamente no valor real de theta = 100. Embora a variância da Fórmula 2 seja maior, a ausência de viés torna a estimativa mais confiável em termos de precisão média.

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