Exercício 6. Tem-se duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional . Para ajudar a escolher a melhor, simulou-se uma situação em que . Dessa população retiraramse 1.000 amostras de dez unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fórmulas às dez unidades de cada amostra. Desse modo, obtêm-se 1.000 valores para a primeira fórmula e outros 1.000 valores para a segunda fórmula , cujos estudos descritivos estão resumidos abaixo.
Fórmula 1 Fórmula 2
Mediana Mediana
Qual das duas fórmulas você acha mais conveniente para estimar ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá entender o que a gente tem nesse exercício. A gente está trabalhando com Estatística, mais especificamente com estimadores de parâmetros populacionais. Aqui, temos um parâmetro populacional chamado , que vale 100. Tiramos 1.000 amostras, cada uma com 10 unidades, e aplicamos duas fórmulas diferentes para estimar esse . Queremos descobrir qual das duas fórmulas é mais conveniente para fazer essa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a média das estimativas de cada fórmula. A Fórmula 1 tem uma média de , enquanto a Fórmula 2 tem . A média nos mostra, em média, qual o valor que a fórmula está estimando para . A Fórmula 2 está exatamente no valor real de , o que já é um bom sinal.

Passo 3

Agora, vamos ver a variância de cada fórmula. A variância nos indica o quanto as estimativas estão espalhadas em torno da média. A Fórmula 1 tem uma variância de , e a Fórmula 2 tem . Isso significa que as estimativas da Fórmula 1 são mais consistentes e menos dispersas comparadas com as da Fórmula 2.

Passo 4

Além da média e da variância, temos também a mediana de cada fórmula. A mediana da Fórmula 1 é 101, e a da Fórmula 2 é 100. A mediana é o valor que separa a metade superior da metade inferior dos dados. Novamente, a Fórmula 2 está mais alinhada com o valor real de .

Passo 5

Agora, vamos pensar sobre viés e erro quadrático médio (EQM). O viés é a diferença entre a média das estimativas e o valor real do parâmetro. Para a Fórmula 1, o viés é , enquanto para a Fórmula 2 é . Um viés menor é melhor porque quer dizer que, na média, a fórmula está mais próxima do valor real.
O EQM combina o viés e a variância: éâ. Para a Fórmula 1, . Para a Fórmula 2, . Aqui, a Fórmula 1 tem um EQM menor, indicando que, apesar do viés, ela é ligeiramente melhor em termos de precisão geral.

Passo 6

No entanto, é importante considerar qual aspecto é mais crucial para a nossa análise: viés ou variância. Se preferirmos uma estimativa que seja, em média, correta (sem viés), mesmo que tenha mais variação, a Fórmula 2 é melhor. Mas se valorizarmos mais a consistência das estimativas, a Fórmula 1 é preferível.

Resposta

A Fórmula 2 é mais conveniente para estimar porque ela não apresenta viés, ou seja, a média das suas estimativas está exatamente no valor real de . Embora a variância da Fórmula 2 seja maior, a ausência de viés torna a estimativa mais confiável em termos de precisão média.

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