Uma máquina térmica opera entre
e
. Para cada ciclo,
e
;
é
. Sabendo que
, responda: Qual o trabalho realizado por ciclo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina térmica que opera entre duas temperaturas, $ T_2 $ e $ T_1 $. Nos dão algumas informações sobre o calor trocado e a variação de entropia, além de uma conversão de calorias para joules. Nosso objetivo é descobrir qual o trabalho realizado por ciclo dessa máquina. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como a relação entre calor, entropia e trabalho em máquinas térmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a temperatura $ T_2 $ de graus Celsius para Kelvin, porque nas fórmulas da termodinâmica a temperatura sempre precisa estar em Kelvin. A fórmula para isso é:
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos entender a relação entre a variação de entropia ($ \Delta S
q $). A fórmula que relaciona essas duas grandezas em um processo reversível é:
Aqui, $ q_{rev} $ é o calor trocado de forma reversível e $ T $ é a temperatura absoluta.
Passo 4
No nosso caso, a variação de entropia $ \Delta S_1 $ está associada à temperatura $ T_1 $. Então, podemos reorganizar a fórmula para encontrar $ q_1 $:
Mas já temos o valor de $ q_1 $, que é $ -4,5 \times 10^6 $ cal. Vamos usar isso para encontrar $ T_1 $.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Agora, vamos resolver para $ T_1 $:
Passo 6
Sabemos que o trabalho realizado por ciclo ($ W
q_{in}
q_{out} $):
Mas também podemos usar a eficiência ($ \eta $) da máquina térmica, que é dada por:
E o trabalho pode ser calculado como:
Passo 7
Primeiro, vamos calcular a eficiência usando as temperaturas que já temos:
Passo 8
Agora, precisamos do $ q_{in} $. Como $ q_1 $ é negativo, significa que a máquina está rejeitando esse calor. Portanto, o calor absorvido ($ q_{in} $) é o valor positivo correspondente. Então:
Passo 9
Finalmente, calculamos o trabalho realizado:
Passo 10
Como foi fornecida a conversão de calorias para joules $ (1,cal = 4,184,J) $, vamos converter o trabalho para joules:
Resposta
O trabalho realizado por ciclo é aproximadamente $ 8,99 \times 10^6 $ joules.