Um marco importante na evolução do universo logo após o Big Bang é o tempo de Planck,
, cujo valor depende de três constantes fundamentais: (1) a velocidade da luz(constante fundamental da relatividade) ,
; (2) a constante gravitacional de Newton ( constante fundamental de gravitação),
; e (3) a constante de Planck ( constante fundamental da mecânica quântica ) ,
. Com base em uma análise dimensional, encontre o valor do tempo de Planck.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que fala sobre o tempo de Planck,
, que é um momento super importante logo após o Big Bang. A pergunta quer que a gente calcule esse tempo usando análise dimensional, ou seja, a gente vai trabalhar com as unidades das constantes fundamentais envolvidas. As constantes que vamos usar são: a velocidade da luz
, a constante gravitacional de Newton
, e a constante de Planck
. Vamos precisar entender como essas unidades se combinam para encontrar o tempo de Planck.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre análise dimensional. Esse método serve pra gente descobrir como as unidades físicas se relacionam quando combinamos diferentes grandezas. A ideia é que as unidades do lado esquerdo da equação têm que ser iguais às do lado direito. No nosso caso, queremos encontrar uma expressão para o tempo
em termos de
,
e
.
Passo 3
Vamos supor que o tempo de Planck
pode ser expresso como uma combinação das três constantes fundamentais elevadas a algumas potências desconhecidas. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que tornam as unidades de
consistentes.
Passo 4
Agora, vamos analisar as unidades de cada constante:
- Velocidade da luz
: - Constante gravitacional
: - Constante de Planck
: - Tempo
:
Passo 5
Substituindo as unidades na expressão de
:
Vamos simplificar isso combinando as potências das unidades:
Passo 6
Agora, igualamos os expoentes de cada unidade dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Substituindo
e
na primeira equação:
Então:
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a expressão para
:
Passo 9
Vamos substituir os valores numéricos das constantes:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo junto:
Resposta
O tempo de Planck é aproximadamente
segundos.