Um marco importante na evolução do universo logo após o Big Bang é o tempo de Planck, tp, cujo valor depende de três constantes fundamentais: (1) a velocidade da luz(constante fundamental da relatividade) , c=3,00 times 10^8 m / s; (2) a constante gravitacional de Newton ( constante fundamental de gravitação), G=6,67 times 10^-11 m^3 / s^2 kg; e (3) a constante de Planck ( constante fundamental da mecânica quântica ) , h=6,63 times 10^-34 kg m^2 / s. Com base em uma análise dimensional, encontre o valor do tempo de Planck.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que fala sobre o tempo de Planck, , que é um momento super importante logo após o Big Bang. A pergunta quer que a gente calcule esse tempo usando análise dimensional, ou seja, a gente vai trabalhar com as unidades das constantes fundamentais envolvidas. As constantes que vamos usar são: a velocidade da luz , a constante gravitacional de Newton , e a constante de Planck . Vamos precisar entender como essas unidades se combinam para encontrar o tempo de Planck.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre análise dimensional. Esse método serve pra gente descobrir como as unidades físicas se relacionam quando combinamos diferentes grandezas. A ideia é que as unidades do lado esquerdo da equação têm que ser iguais às do lado direito. No nosso caso, queremos encontrar uma expressão para o tempo em termos de , e .

Passo 3

Vamos supor que o tempo de Planck tp = c^a cdot G^b cdot h^c pode ser expresso como uma combinação das três constantes fundamentais elevadas a algumas potências desconhecidas. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que tornam as unidades de consistentes.

Passo 4

Agora, vamos analisar as unidades de cada constante:
  • Velocidade da luz :
  • Constante gravitacional :
  • Constante de Planck :
  • Tempo :

Passo 5

Substituindo as unidades na expressão de s = (m/s)^a cdot (m^3/(s^2 cdot kg))^b cdot (kg cdot m^2/s)^c :
s = m^a + 3b + 2c cdot s^-a - 2b - c cdot kg^-b + c
Vamos simplificar isso combinando as potências das unidades:

Passo 6

Agora, igualamos os expoentes de cada unidade dos dois lados da equação:
Para a + 3b + 2c = 0 :
-a - 2b - c = 1
Para -b + c = 0 :
Para :

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
c = b
Substituindo -a - 2b - b = 1 Rightarrow -a - 3b = 1 Rightarrow a = -3b - 1 na segunda equação:
(-3b - 1) + 3b + 2b = 0 Rightarrow -1 + 2b = 0 Rightarrow b = 12
Substituindo c = 12, a = -3 (12) - 1 = -32 - 1 = -52 e na primeira equação:
Então:

Passo 8

Agora que temos os valores de tp = c^-5/2 cdot G^1/2 cdot h^1/2 , e , podemos escrever a expressão para :

Passo 9

Vamos substituir os valores numéricos das constantes:
tp = (3,00 times 10^8, m/s)^-5/2 cdot (6,67 times 10^-11, m^3/(s^2 cdot kg))^1/2 cdot (6,63 times 10^-34, kg cdot m^2/s)^1/2
Calculando cada parte:
c^-5/2 = (3,00 times 10^8)^-2,5 approx 3,16 times 10^-21, s^5/2/m^5/2
G^1/2 = (6,67 times 10^-11)^1/2 approx 8,17 times 10^-6, m^3/2/(s cdot kg^1/2)
h^1/2 = (6,63 times 10^-34)^1/2 approx 8,14 times 10^-17, kg^1/2 cdot m/s^1/2
Multiplicando tudo junto:
tp approx 3,16 times 10^-21 times 8,17 times 10^-6 times 8,14 times 10^-17 approx 2,64 times 10^-43, s

Resposta

O tempo de Planck é aproximadamente segundos.

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