Marcos gostaria de comprar uma moto no valor de R$ 7.800,00, mas caso ele faça um financiamento, as taxas e parcelas serão extremamente caras, e ele não tem este dinheiro à vista. Então, Marcos resolve guardar este dinheiro na poupança, para que no final do ano ele consiga comprar a moto à vista. Sabe-se que a taxa na poupança é de 0,5% a.m, e Marcos quer guardar dinheiro durante 10 meses. Qual o valor das parcelas que Marcos deve guardar para que no final dos 10 meses, ele consiga comprar a moto? Calcule tanto as parcelas postecipadas quanto antecipadas.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos ajudar o Marcos a comprar a moto dos sonhos. Ele quer juntar R$ 7.800,00 em 10 meses usando a poupança, que rende 0,5% ao mês. Para isso, precisamos calcular quanto ele deve guardar todo mês. Vamos usar noções de matemática financeira, especificamente de séries de pagamentos (ou anuidades). Vamos calcular para duas situações: quando ele guarda o dinheiro no final de cada mês (parcelas postecipadas) e quando ele guarda no início de cada mês (parcelas antecipadas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Para calcular o valor das parcelas, usamos a fórmula do Valor Futuro (FV) de uma anuidade. A fórmula geral para anuidades postecipadas é:
FV = P times ( (1 + i)^n - 1i )
Onde:
  • $ FV $ é o valor futuro que queremos alcançar (R$ 7.800,00).
  • $ P $ é o valor da parcela mensal que Marcos vai guardar.
  • $ i $ é a taxa de juros mensal (0,5% ou 0,005 em decimal).
  • $ n $ é o número de meses (10 meses).

Passo 3

Vamos isolar $ P $ na fórmula para encontrar o valor da parcela:
P
Substituindo os valores que temos:
P = FV( (1 + i)^n - 1i )

Passo 4

Agora, vamos calcular a parte de cima da fração:
(1 + 0,005)^10 = 1,005^10
Calculando isso:
1,005^10 approx 1,0511
Então:
1,0511 - 10,005 = 0,05110,005 = 10,22

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fórmula para $ P $:
P
Então, para as parcelas postecipadas, Marcos precisa guardar aproximadamente R$ 763,98 por mês.

Passo 6

Agora, vamos calcular para as parcelas antecipadas. Nesse caso, Marcos faz o depósito no início de cada mês, o que dá um pouquinho mais de tempo para os juros trabalharem. A fórmula para anuidades antecipadas é:
FV = P times ( (1 + i)^n - 1i ) times (1 + i)
Vamos isolar $ P $ novamente:
P
Substituindo os valores:
P = FV( (1 + i)^n - 1i ) times (1 + i)

Resposta

Marcos precisa guardar aproximadamente R 763,98** por mês se as parcelas forem postecipadas e **Rê 759,52 por mês se as parcelas forem antecipadas para conseguir comprar a moto após 10 meses.

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