Maria fez um empréstimo bancário a juros compostos de 5% ao mês. Se Maria tivesse pago a sua dívida dois meses antes, ela teria pago ao banco a quantia de
a) R$10.200,00
b) R$9.800,00
c) R$9.600,00
d) R$9.200,00
e) R$9.000,00

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Maria que fez um empréstimo com juros compostos de 5% ao mês. A questão quer saber quanto ela teria pago ao banco se tivesse quitado a dívida dois meses antes. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros compostos para calcular o valor que ela pagaria nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula dos juros compostos. Ela é usada para calcular o montante $ M $ que você terá após um certo tempo, considerando uma taxa de juros aplicada sobre o valor inicial e os juros acumulados. A fórmula é:
M
Onde:
  • $ M $ é o montante final
  • $ P $ é o principal (valor inicial do empréstimo)
  • $ i $ é a taxa de juros por período
  • $ n $ é o número de períodos

Passo 3

No nosso caso, Maria pagou a dívida dois meses a mais do que o necessário. Queremos descobrir quanto ela pagaria se tivesse quitado dois meses antes, ou seja, com $ n - 2 $ períodos. Como ela pagará menos tempo de juros, o valor será menor.
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar o valor que ela pagaria dois meses antes:
n - 2

Passo 4

Mas a gente não sabe o valor de $ P $ ou $ n $ diretamente. O que podemos fazer é comparar o valor com e sem os dois meses extras de juros. Sabemos que pagar dois meses a menos reduz o montante final, e esse valor está entre as opções dadas.
Vamos calcular a diferença entre pagar agora e dois meses antes para encontrar qual das opções se encaixa.

Passo 5

Sabemos que a diferença entre os dois montantes está relacionada aos dois meses de juros. Então, podemos calcular essa diferença multiplicando o valor pago dois meses antes por $ (1 + i)^2 $ para chegar ao valor que ela pagaria com os dois meses extras.
Vamos chamar de $ M_{antes} $ o valor pago dois meses antes. Então:
(1 + i)^2
Mantes

Passo 6

Agora, queremos encontrar qual das opções multiplicadas por $ 1,1025 $ dá um valor que faça sentido no contexto. Vamos testar cada opção:
a) R$10.200,00
1,1025
b) R$9.800,00
10.200,00
c) R$9.600,00
10.200 times 1,1025 = 11.227,5
d) R$9.200,00
b) R
e) R$9.000,00
9.800 times 1,1025 = 10.785

Resposta

A opção que mais se aproxima do valor correto é a letra d) R$9.200,00.

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