Marque a alternativa abaixo que representa a equação de uma elipse, um ponto ou conjunto vazio.
x² + y² - 5x + 4y + 10 = 0.
2x² - 4y² + xy - 5x + 4y + 10 = 0.
2x² + 2y² - 5x + 4y + 10 = 0.
x² + y² + 2xy - 5x + 4y + 10 = 0.
2x² + 7y² - x + 4y + 10 = 0.
x² + y² - 5x + 4y + 10 = 0.
2x² - 4y² + xy - 5x + 4y + 10 = 0.
2x² + 2y² - 5x + 4y + 10 = 0.
x² + y² + 2xy - 5x + 4y + 10 = 0.
2x² + 7y² - x + 4y + 10 = 0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem cinco equações diferentes e precisa descobrir qual delas representa uma elipse, um ponto ou nenhum ponto (conjunto vazio). Isso tá ligado ao estudo das Seções Cônicas na matemática, especificamente como identificar o tipo de cônica a partir da equação geral. Para resolver, vamos analisar cada equação usando o discriminante $ \Delta = B^2 - 4AC $, que nos ajuda a classificar a equação.
Passo 2
Primeira Equação: $ x^2 + y^2 - 5x + 4y + 10 = 0 $
- Identificando os coeficientes: Aqui, $ A = 1 $, $ B = 0 $ (porque não tem termo $ xy $), e $ C = 1 $.
- Calculando o discriminante: $ \Delta = B^2 - 4AC = 0 - 4(1)(1) = -4 $.
- Interpretação: Como $ \Delta < 0 $ e $ A = C $, isso geralmente representa uma elipse. Vamos completar o quadrado para ter certeza.
Completando o quadrado:
Isso representa uma elipse (no caso, um círculo, que é uma elipse especial) com centro em $ (\frac{5}{2}, -2) $ e raio $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Segunda Equação: $ 2x^2 - 4y^2 + xy - 5x + 4y + 10 = 0 $
- Identificando os coeficientes: $ A = 2 $, $ B = 1 $, $ C = -4 $.
- Calculando o discriminante: $ \Delta = B^2 - 4AC = 1 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33 $.
- Interpretação: Como $ \Delta > 0 $, isso indica uma hipérbole.
Passo 4
Terceira Equação: $ 2x^2 + 2y^2 - 5x + 4y + 10 = 0 $
- Identificando os coeficientes: $ A = 2 $, $ B = 0 $, $ C = 2 $.
- Calculando o discriminante: $ \Delta = B^2 - 4AC = 0 - 4(2)(2) = -16 $.
- Interpretação: Com $ \Delta < 0 $ e $ A = C $, temos uma elipse. Vamos confirmar completando o quadrado.
Completando o quadrado:
Como o lado direito é negativo, não há solução real. Portanto, é um conjunto vazio.
Passo 5
Quarta Equação: $ x^2 + y^2 + 2xy - 5x + 4y + 10 = 0 $
- Identificando os coeficientes: $ A = 1 $, $ B = 2 $, $ C = 1 $.
- Calculando o discriminante: $ \Delta = B^2 - 4AC = 4 - 4(1)(1) = 0 $.
- Interpretação: Com $ \Delta = 0 $, isso geralmente indica uma parábola. Porém, vamos verificar completando os quadrados.
Completando o quadrado:
Essa equação representa uma reta degenerate ou um ponto, dependendo das soluções. Analisando, não há solução que satisfaça a equação, então é um conjunto vazio.
Passo 6
Quinta Equação: $ 2x^2 + 7y^2 - x + 4y + 10 = 0 $
- Identificando os coeficientes: $ A = 2 $, $ B = 0 $, $ C = 7 $.
- Calculando o discriminante: $ \Delta = B^2 - 4AC = 0 - 4(2)(7) = -56 $.
- Interpretação: Com $ \Delta < 0 $ e $ A \neq C $, isso indica uma elipse.
Completando o quadrado:
Como o lado direito é negativo, não há solução real. Portanto, é um conjunto vazio.
Resposta
- Primeira Equação: Elipse
- Segunda Equação: Hipérbole
- Terceira Equação: Conjunto vazio
- Quarta Equação: Conjunto vazio
- Quinta Equação: Conjunto vazio