Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para identificar qual das alternativas é uma matriz antissimétrica de ordem 3. Então, vamos falar um pouco sobre o que é uma matriz antissimétrica e como reconhecer uma matriz desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz antissimétrica. Uma matriz antissimétrica, também chamada de matriz skew-simétrica, é uma matriz quadrada (ou seja, tem o mesmo número de linhas e colunas) onde cada elemento fora da diagonal principal é o negativo do elemento simétrico em relação à diagonal. Além disso, os elementos na diagonal principal devem ser zero.
Matematicamente, isso significa que para uma matriz de ordem :
Onde é a matriz transposta de .
Passo 3
Vamos detalhar o que isso significa. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para uma matriz de ordem 3:
Sua transposta A^T será:
A^T = a & d & g b & e & h c & f & i
Para que A seja antissimétrica, precisamos que:
A^T = -A
Passo 4
Vamos comparar as duas matrizes:
$$ a & d & g b & e & h c & f & i = -a & -b & -c -d & -e & -f -g & -h & -i
a = -a
$$
Isso nos dá as seguintes equações:
a = 0 ⟹ d = -b
g = -c
b = -d
e = -e
e = 0 ⟹ h = -f
c = -g
f = -h
i = -i
i = 0 ⟹
Passo 5
Observamos que os elementos na diagonal principal devem ser zero: a = 0, e = 0, e i = 0.
Além disso, os elementos fora da diagonal estão relacionados da seguinte forma:
d = -b
g = -c
h = -f
Isso significa que, se você conhece alguns elementos, os outros são determinados por essas relações.
Passo 6
Para identificar qual alternativa apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3, verifique o seguinte em cada opção:
Diagonal principal com zeros.
Elementos simétricos fora da diagonal são negativos uns dos outros.
Por exemplo, se uma das opções for:
0 & 2 & -1 -2 & 0 & 3 1 & -3 & 0
Ela é antissimétrica porque:
A diagonal principal é zero.
a12 = 2 e a21 = -2
a13 = -1 e a31 = 1
a23 = 3 e a32 = -3
Resposta
A matriz que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a zero e os elementos fora da diagonal sendo negativos uns dos outros é uma matriz antissimétrica de ordem 3. Então, a alternativa correta é aquela que satisfaz essas condições.