Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para identificar qual das alternativas é uma matriz antissimétrica de ordem 3. Então, vamos falar um pouco sobre o que é uma matriz antissimétrica e como reconhecer uma matriz desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz antissimétrica. Uma matriz antissimétrica, também chamada de matriz skew-simétrica, é uma matriz quadrada (ou seja, tem o mesmo número de linhas e colunas) onde cada elemento fora da diagonal principal é o negativo do elemento simétrico em relação à diagonal. Além disso, os elementos na diagonal principal devem ser zero.
Matematicamente, isso significa que para uma matriz A de ordem 3:
A^T = -A
Onde A^T é a matriz transposta de A.

Passo 3

Vamos detalhar o que isso significa. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, para uma matriz A de ordem 3:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Sua transposta A^T será:
A^T = a & d & g b & e & h c & f & i
Para que A seja antissimétrica, precisamos que:
A^T = -A

Passo 4

Vamos comparar as duas matrizes:

$$
a & d & g b & e & h c & f & i = -a & -b & -c -d & -e & -f -g & -h & -i

a = -a
$$
Isso nos dá as seguintes equações:
  1. a = 0 d = -b
  2. g = -c
  3. b = -d
  4. e = -e
  5. e = 0 h = -f
  6. c = -g
  7. f = -h
  8. i = -i
  9. i = 0

Passo 5

Observamos que os elementos na diagonal principal devem ser zero: a = 0, e = 0, e i = 0.
Além disso, os elementos fora da diagonal estão relacionados da seguinte forma:
  • d = -b
  • g = -c
  • h = -f
Isso significa que, se você conhece alguns elementos, os outros são determinados por essas relações.

Passo 6

Para identificar qual alternativa apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3, verifique o seguinte em cada opção:
  1. Diagonal principal com zeros.
  2. Elementos simétricos fora da diagonal são negativos uns dos outros.
Por exemplo, se uma das opções for:
0 & 2 & -1 -2 & 0 & 3 1 & -3 & 0
Ela é antissimétrica porque:
  • A diagonal principal é zero.
  • a12 = 2 e a21 = -2
  • a13 = -1 e a31 = 1
  • a23 = 3 e a32 = -3

Resposta

A matriz que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a zero e os elementos fora da diagonal sendo negativos uns dos outros é uma matriz antissimétrica de ordem 3. Então, a alternativa correta é aquela que satisfaz essas condições.

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