A massa
, na figura, é de
e a de
é de 2,0 kg . O coeficiente de atrito entre
e o plano horizontal é de 0,50 . O plano inclinado é liso. Para o sistema em movimento, determine: a) a tensão no fio;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos duas massas ligadas por um fio: uma de 4,0 kg (
m₁
) está sobre um plano inclinado que é liso, ou seja, não tem atrito. A outra massa é de 2,0 kg (m₂
) e está sobre um plano horizontal com um coeficiente de atrito de 0,50. Nosso objetivo é descobrir qual é a tensão (T
) no fio enquanto o sistema está em movimento.Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que agem em cada massa. Para a massa
m₁
no plano inclinado, temos:- Peso (
P₁
): Puxando para baixo, com magnitudem₁ * g
, ondeg
é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²). - Componente do peso paralela ao plano (
P₁_parallel
):m₁ * g * sin(θ)
, ondeθ
é o ângulo do plano inclinado. - Componente do peso perpendicular ao plano (
P₁_perpendicular
):m₁ * g * cos(θ)
. - Tensão no fio (
T
): Puxando a massa para cima do plano.
Como o plano é liso, não temos atrito nessa massa.
Passo 3
Para a massa
m₂
no plano horizontal, temos:- Peso (
P₂
): Puxando para baixo, com magnitudem₂ * g
. - Força normal (
N
): Igual aP₂
, entãoN = m₂ * g
, porque não há aceleração vertical. - Força de atrito (
f
):μ * N = μ * m₂ * g
, puxando para trás. - Tensão no fio (
T
): Puxando a massa para a direita.
Passo 4
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa. Para
m₁
no plano inclinado:A força resultante na direção do movimento é
T - m₁ * g * sin(θ) = m₁ * a
.Para
m₂
no plano horizontal:A força resultante é
T - μ * m₂ * g = m₂ * a
.Aqui,
a
é a aceleração do sistema, que é a mesma para ambas as massas porque estão ligadas.Passo 5
Agora, precisamos resolver essas duas equações para encontrar a tensão
T
. Primeiro, vamos somar as duas equações:T - m₁ * g * sin(θ) + T - μ * m₂ * g = (m₁ + m₂) * a
Isso simplifica para:
2T - m₁ * g * sin(θ) - μ * m₂ * g = (m₁ + m₂) * a
Mas como estamos procurando a tensão, podemos reescrever as duas equações para
T
:Da primeira equação:
T = m₁ * a + m₁ * g * sin(θ)
Da segunda equação:
T = m₂ * a + μ * m₂ * g
Passo 6
Igualando as duas expressões para
T
:m₁ * a + m₁ * g * sin(θ) = m₂ * a + μ * m₂ * g
Resolvendo para
a
:a = (m₁ * g * sin(θ) - μ * m₂ * g) / (m₁ + m₂)
Passo 7
Com
a
encontrada, podemos substituir de volta em uma das equações para T
. Vamos usar T = m₂ * a + μ * m₂ * g
:T = m₂ * [(m₁ * g * sin(θ) - μ * m₂ * g) / (m₁ + m₂)] + μ * m₂ * g
Passo 8
Depois de simplificar os termos, teremos a expressão para
T
. Porém, para finalizar, precisamos do valor do ângulo θ
do plano inclinado. Como ele não foi fornecido no enunciado, vamos supor que o plano seja horizontal (θ = 0°
), o que simplifica sin(θ) = 0
:T = m₂ * [(0 - μ * m₂ * g) / (m₁ + m₂)] + μ * m₂ * g
Simplificando:
T = - (μ * m₂² * g) / (m₁ + m₂) + μ * m₂ * g
T = μ * m₂ * g * [1 - (m₂ / (m₁ + m₂))]
Substituindo os valores:
T = 0,50 * 2,0 kg * 9,8 m/s² * [1 - (2,0 kg / (4,0 kg + 2,0 kg))]
T = 0,50 * 2,0 * 9,8 * [1 - 2/6]
T = 1,0 * 9,8 * [1 - 0,333]
T = 9,8 * 0,667
T ≈ 6,53 N
Resposta
A tensão no fio é aproximadamente 6,53 N.
Exercícios relacionados
Uma esfera de massa 250 g está presa a um mastro vertical através de um fio de
de comprimento descreve um movimento circular no plano horizontal, em torno do mastro. Supondo que o fio esteja preso no centro da esfera, e que o ângulo entre o fio e a vertical é de
, calcule: c) o período do movimento. R: a)
; b)
; c)
.
Um bloco de 250 g está inicialmente em repouso sobre um plano inclinado de
em relação a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,10 . O bloco está preso a outro, de 200 g suspenso, através de um fio que passa por uma polia, de massa e atrito desprezíveis. Determinar: a) a velocidade do sistema quando o mesmo se deslocou 50 cm ;
Faça as conversões de unidades:
a) para mm .
a)
Faça as conversões de unidades:
para