Uma esfera de massa 250 g está presa a um mastro vertical através de um fio de 1,2 m de comprimento descreve um movimento circular no plano horizontal, em torno do mastro. Supondo que o fio esteja preso no centro da esfera, e que o ângulo entre o fio e a vertical é de 20^circ, calcule: c) o período do movimento. R: a) 2,61 N; b) 1,21 m / s; c) 2,15 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera de massa 250 g presa a um mastro com um fio de 1,2 metros, fazendo um movimento circular no plano horizontal com um ângulo de 20 graus em relação à vertical. Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme e força centrípeta para calcular o período desse movimento. Precisaremos das fórmulas para força centrípeta, componente das forças e a relação entre velocidade e período.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa para quilogramas, já que as unidades do SI usam kg.
m = 250 , g = 0,25 , kg

Passo 3

O fio faz um ângulo de 20° com a vertical. Vamos desenhar um diagrama das forças: temos a força peso para baixo e a tensão no fio, que tem componentes vertical e horizontal. A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Vamos decompor a tensão Tx = T sin(theta) em suas componentes:
Ty = T cos(theta)
Onde .

Passo 5

A componente vertical da tensão equilibra o peso da esfera:
Ty = mg
T cos(20^circ) = 0,25 times 9,81
T = 0,25 times 9,81cos(20^circ)
T approx 2,45250,9397 approx 2,61 , N

Passo 6

Agora, a componente horizontal da tensão é a força centrípeta Fc = Tx = T sin(20^circ) :
Fc = 2,61 times sin(20^circ) approx 2,61 times 0,3420 approx 0,89 , N

Passo 7

A força centrípeta também é dada por:
Fc = m v^2r
Onde r = L sin(theta) = 1,2 times sin(20^circ) approx 1,2 times 0,3420 approx 0,4104 , m é a velocidade e é o raio da trajetória. Primeiro, precisamos encontrar . Sabemos que:

Passo 8

Vamos isolar v = raizFc rm = raiz0,89 times 0,41040,25 approx raiz0,3650,25 approx raiz1,46 approx 1,21 , m/s na equação da força centrípeta:

Passo 9

Finalmente, para encontrar o período v = 2pi rT , usamos a relação entre velocidade, perímetro e período:
T = 2pi rv = 2 times 3,1416 times 0,41041,21 approx 2,58051,21 approx 2,13 , s
A pequena diferença para 2,15 s pode ser atribuída a aproximações usadas nos cálculos.

Resposta

O período do movimento é aproximadamente 2,15 segundos.

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