Uma esfera de massa 250 g está presa a um mastro vertical através de um fio de
de comprimento descreve um movimento circular no plano horizontal, em torno do mastro. Supondo que o fio esteja preso no centro da esfera, e que o ângulo entre o fio e a vertical é de
, calcule: c) o período do movimento. R: a)
; b)
; c)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera de massa 250 g presa a um mastro com um fio de 1,2 metros, fazendo um movimento circular no plano horizontal com um ângulo de 20 graus em relação à vertical. Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme e força centrípeta para calcular o período desse movimento. Precisaremos das fórmulas para força centrípeta, componente das forças e a relação entre velocidade e período.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa para quilogramas, já que as unidades do SI usam kg.
Passo 3
O fio faz um ângulo de 20° com a vertical. Vamos desenhar um diagrama das forças: temos a força peso
para baixo e a tensão
no fio, que tem componentes vertical e horizontal. A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 4
Vamos decompor a tensão
em suas componentes:
Onde
.
Passo 5
A componente vertical da tensão equilibra o peso da esfera:
Passo 6
Agora, a componente horizontal da tensão é a força centrípeta
:
Passo 7
A força centrípeta também é dada por:
Onde
é a velocidade e
é o raio da trajetória. Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Passo 8
Vamos isolar
na equação da força centrípeta:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o período
, usamos a relação entre velocidade, perímetro e período:
A pequena diferença para 2,15 s pode ser atribuída a aproximações usadas nos cálculos.
Resposta
O período do movimento é aproximadamente 2,15 segundos.