Se f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma função diferenciável e , mostre que a função , onde , é diferenciável.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável. Além disso, definimos e queremos mostrar que a função , onde , também é diferenciável. Vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções e como compor funções diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma transformação linear nesse ponto, ou seja, seu gráfico pode ser “alcançado” por um plano tangente. Isso implica que ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto.
Passo 3
Agora, olhando para a função , onde , percebemos que é uma composição de funções. Primeiro, aplicamos para obter e , e depois aplicamos a função .
Passo 4
Sabemos que se duas funções são diferenciáveis, então sua composição também é diferenciável. Já que é diferenciável por hipótese, precisamos verificar se também é diferenciável.
Passo 5
A função é um polinômio em e , e polinômios são diferenciáveis em todo o seu domínio. Portanto, é diferenciável.
Passo 6
Como é diferenciável e também é diferenciável, a composição é diferenciável.