Considere a curva de equações paramétricas e .
(a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas: , e , onde pode ser qualquer número real. O ponto onde queremos encontrar a reta tangente e o plano normal é . Para isso, vamos precisar entender como achar o valor de que corresponde a esse ponto e depois usar cálculo para encontrar a reta tangente e o plano normal.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual valor de nos dá o ponto . Olhando as equações paramétricas:
Sabemos que , então . Vamos verificar se esse valor de realmente nos dá o ponto :
Tudo certo! O valor de que corresponde a é .
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular as derivadas das funções , e em relação a . Essas derivadas nos dão o vetor tangente à curva naquele ponto.
No ponto onde :
Então, o vetor tangente é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral de uma reta no espaço é:
Onde é o ponto inicial e é o parâmetro. Aplicando nossos valores:
Isso dá as equações paramétricas da reta tangente:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o plano normal à curva no ponto . O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente da curva naquele ponto. A equação geral de um plano é:
Onde é o vetor normal ao plano e é um ponto no plano. Aqui, o vetor normal é o vetor tangente e o ponto é . Substituindo: