Considere a curva gamma de equações paramétricas x = t, y = t^2 e z = t^3, -infinito < t < infinito.
(a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto P0(2,4,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas: , e , onde pode ser qualquer número real. O ponto onde queremos encontrar a reta tangente e o plano normal é . Para isso, vamos precisar entender como achar o valor de que corresponde a esse ponto e depois usar cálculo para encontrar a reta tangente e o plano normal.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de nos dá o ponto . Olhando as equações paramétricas:
Sabemos que , então . Vamos verificar se esse valor de realmente nos dá o ponto :
Tudo certo! O valor de que corresponde a é .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular as derivadas das funções , e em relação a . Essas derivadas nos dão o vetor tangente à curva naquele ponto.
No ponto onde :
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral de uma reta no espaço é:
Onde é o ponto inicial e é o parâmetro. Aplicando nossos valores:
Isso dá as equações paramétricas da reta tangente:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o plano normal à curva no ponto . O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente da curva naquele ponto. A equação geral de um plano é:
Onde é o vetor normal ao plano e é um ponto no plano. Aqui, o vetor normal é o vetor tangente e o ponto é . Substituindo:
Simplificando:
Então, a equação do plano normal é .

Resposta

A reta tangente no ponto é dada por:
E o plano normal à curva nesse ponto é:

Exercícios relacionados

Determine a reta tangente à curva gamma, no ponto P0 indicado.
(a) gamma: | 3 x^2 + y^2 + z = 4 ; -x^2 + y^2 + z^2 = 12 ; P0(1,2,-3)
Se f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma função diferenciável e z = f(x, y), mostre que a função g(x,y) = u^2 + v^2, onde (u,v) = f(x,y), é diferenciável.
Seja f: R -> R uma função derivável, com f'(t) > 0, para todo t. Se g(x, y) = f(x^2 + y^2), mostre que a derivada direcional D_v g(x, y) será máxima quando v = x i + y j.
Verifique se as seguintes funções são harmônicas. f(x, y) = e^x sen(y)