Determine a reta tangente à curva , no ponto indicado.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva gamma no ponto . A curva gamma é definida pela interseção de duas superfícies:
Isso envolve geometria analítica e cálculo vetorial. Vamos precisar calcular gradientes e usar produto vetorial para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a curva gamma é onde as duas superfícies se encontram. Para achar a reta tangente nessa curva no ponto P0, a gente precisa encontrar um vetor direção que seja tangente à curva naquele ponto.
Passo 3
A forma de encontrar esse vetor direção é calculando os gradientes das duas superfícies no ponto P0. O gradiente de uma função em um ponto dá a direção de máxima inclinação, ou seja, é perpendicular à superfície naquele ponto.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente da primeira equação:
O gradiente é:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente da segunda equação:
O gradiente é:
Substituindo :
Passo 6
A reta tangente à curva gamma no ponto P0 deve ser perpendicular aos dois gradientes calculados. Para achar um vetor que seja perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial:
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Resposta
A reta tangente à curva gamma no ponto é dada por: