Determine a reta tangente à curva gamma, no ponto P0 indicado.
(a) gamma: | 3 x^2 + y^2 + z = 4 ; -x^2 + y^2 + z^2 = 12 ; P0(1,2,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva gamma no ponto . A curva gamma é definida pela interseção de duas superfícies:
Isso envolve geometria analítica e cálculo vetorial. Vamos precisar calcular gradientes e usar produto vetorial para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a curva gamma é onde as duas superfícies se encontram. Para achar a reta tangente nessa curva no ponto P0, a gente precisa encontrar um vetor direção que seja tangente à curva naquele ponto.

Passo 3

A forma de encontrar esse vetor direção é calculando os gradientes das duas superfícies no ponto P0. O gradiente de uma função em um ponto dá a direção de máxima inclinação, ou seja, é perpendicular à superfície naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente da primeira equação:
O gradiente é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da segunda equação:
O gradiente é:
Substituindo :

Passo 6

A reta tangente à curva gamma no ponto P0 deve ser perpendicular aos dois gradientes calculados. Para achar um vetor que seja perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial:
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Resposta

A reta tangente à curva gamma no ponto é dada por:
onde t é o parâmetro real.

Exercícios relacionados

Se f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma função diferenciável e z = f(x, y), mostre que a função g(x,y) = u^2 + v^2, onde (u,v) = f(x,y), é diferenciável.
Calcule a derivada direcional no ponto P0(1,2,3) da função w = 2x^2 - y^2 + z^2, na direção da reta que passa nos pontos A(1,2,1) e B(3, 5, 0).
Considere a curva gamma de equações paramétricas x = t, y = t^2 e z = t^3, -infinito < t < infinito.
(a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto P0(2,4,8).
Seja f: R -> R uma função derivável, com f'(t) > 0, para todo t. Se g(x, y) = f(x^2 + y^2), mostre que a derivada direcional D_v g(x, y) será máxima quando v = x i + y j.