A matriz abaixo representa uma transformação linear onde a base do domínio é a base canônica (BC) e a base do contradomínio é a base , do exercício 4.
Calcule a matriz que representa sabendo que é a transformação linear do exercício precedente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de Transformações Lineares que envolve matrizes. O objetivo aqui é calcular a matriz que representa a composição de duas transformações lineares, e . Para isso, vamos precisar entender como as matrizes representam essas transformações e como compô-las. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as transformações envolvidas. A transformação é representada pela matriz :
Essa matriz representa com a base canônica no domínio e a base no contradomínio.
Passo 3
Agora, queremos calcular a matriz que representa a composição . A composição de transformações lineares significa que aplicamos primeiro e depois . Para encontrar a matriz dessa composição, precisamos multiplicar as matrizes que representam e .
Passo 4
Vamos lembrar que, se é a matriz que representa e é a matriz que representa , então a matriz que representa é o produto .
Então, temos:
Passo 5
Mas, temos que atenção com as bases envolvidas. A matriz está mapeando de uma base canônica para a base , e queremos a matriz da composição com que está mapeando para .
Para ajustar as bases, usamos a fórmula de mudança de base. A matriz final será ajustada para refletir as novas bases envolvidas na transformação.
Passo 6
Entretanto, sem a matriz específica de do exercício anterior, vamos assumir que a matriz de na base para a base canônica seja conhecida e representada por .
Assim, a matriz que representa de para será:
Resposta
Portanto, a matriz que representa é o produto da matriz de pela matriz de :
Para obter o resultado numérico final, você precisa multiplicar a matriz pela matriz .