A matriz abaixo representa uma transformação linear onde a base do domínio é a base canônica (BC) e a base do contradomínio é a base , do exercício 4.
Calcule a matriz que representa sabendo que é a transformação linear do exercício precedente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de Transformações Lineares que envolve matrizes. O objetivo aqui é calcular a matriz que representa a composição de duas transformações lineares, e . Para isso, vamos precisar entender como as matrizes representam essas transformações e como compô-las. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as transformações envolvidas. A transformação é representada pela matriz :
Essa matriz representa com a base canônica no domínio e a base no contradomínio.

Passo 3

Agora, queremos calcular a matriz que representa a composição . A composição de transformações lineares significa que aplicamos primeiro e depois . Para encontrar a matriz dessa composição, precisamos multiplicar as matrizes que representam e .

Passo 4

Vamos lembrar que, se é a matriz que representa e é a matriz que representa , então a matriz que representa é o produto .
Então, temos:

Passo 5

Mas, temos que atenção com as bases envolvidas. A matriz está mapeando de uma base canônica para a base , e queremos a matriz da composição com que está mapeando para .
Para ajustar as bases, usamos a fórmula de mudança de base. A matriz final será ajustada para refletir as novas bases envolvidas na transformação.

Passo 6

Entretanto, sem a matriz específica de do exercício anterior, vamos assumir que a matriz de na base para a base canônica seja conhecida e representada por .
Assim, a matriz que representa de para será:

Resposta

Portanto, a matriz que representa é o produto da matriz de pela matriz de :
Para obter o resultado numérico final, você precisa multiplicar a matriz pela matriz .

Exercícios relacionados

Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
, com as operações usuais.
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .
Considere as seguintes T. lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
  3. definida por .
    Calcule o que se pede:
    (b)