Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Você tem duas bases no espaço tridimensional, e . A base é definida em termos dos vetores da base . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base . Ou seja, queremos descobrir quais são os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base , resultam no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as coordenadas de um vetor em uma nova base, precisamos expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores dessa base. No nosso caso, queremos achar escalares , e tais que:

Passo 3

Sabemos que os vetores da base são dados em termos dos vetores da base . Vamos substituir esses valores:

Passo 4

Agora, montamos o sistema de equações para encontrar , e :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor na base são:

Exercícios relacionados

A matriz abaixo representa uma transformação linear onde a base do domínio é a base canônica (BC) e a base do contradomínio é a base , do exercício 4.
Calcule a matriz que representa sabendo que é a transformação linear do exercício precedente.
Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
, com as operações usuais.
Considere as seguintes T. lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
  3. definida por .
    Calcule o que se pede:
    (b)
Seja uma transformação linear.
(a) Suponha que é LI, mas é LD. Mostre que tem uma solução não-trivial.