Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
, com as operações usuais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Basicamente, isso significa que precisa cumprir algumas regras específicas para ser considerado um subespaço. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial, como verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o conjunto . Ele é definido por:
Isso significa que todo vetor em é da forma , onde é um número real.

Passo 3

A primeira coisa que a gente precisa verificar é se o vetor zero de está em . O vetor zero em é .
Vamos ver se existe algum valor de que faz :
ãéí
Vemos que, mesmo com , o terceiro componente fica , que não é igual a zero. Portanto, o vetor zero não est�� em .

Passo 4

Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não pode ser um subespaço vetorial. Mas vamos continuar verificando as outras condições para ficar claro.

Passo 5

Vamos checar se é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em .
Seja e . A soma é:
Para que esteja em , deve existir um tal que:
Isso implicaria , o que não é verdade. Logo, não é fechado para adição.

Passo 6

Agora, vamos ver se é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Pegando e um escalar , temos:
Para que esteja em , deve existir um tal que:
Isso implica que , ou seja, . Mas pode ser qualquer número real, então nem todos os escalares mantêm o vetor dentro de .

Resposta

Então, concluindo tudo isso, o conjunto não é um subespaço vetorial de , porque não contém o vetor zero, nem é fechado para adição e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Seja e seja o subespaço gerado por .
(b) Verifique se o vetor pertence a .
A matriz abaixo representa uma transformação linear onde a base do domínio é a base canônica (BC) e a base do contradomínio é a base , do exercício 4.
Calcule a matriz que representa sabendo que é a transformação linear do exercício precedente.
Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .