Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de : , com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Basicamente, isso significa que precisa cumprir algumas regras específicas para ser considerado um subespaço. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial, como verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o conjunto . Ele é definido por:
Isso significa que todo vetor em é da forma , onde é um número real.
Passo 3
A primeira coisa que a gente precisa verificar é se o vetor zero de está em . O vetor zero em é .
Vamos ver se existe algum valor de que faz :
Vemos que, mesmo com , o terceiro componente fica , que não é igual a zero. Portanto, o vetor zero não est�� em .
Passo 4
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não pode ser um subespaço vetorial. Mas vamos continuar verificando as outras condições para ficar claro.
Passo 5
Vamos checar se é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em .
Seja e . A soma é:
Para que esteja em , deve existir um tal que:
Isso implicaria , o que não é verdade. Logo, não é fechado para adição.
Passo 6
Agora, vamos ver se é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Pegando e um escalar , temos:
Para que esteja em , deve existir um tal que:
Isso implica que , ou seja, . Mas pode ser qualquer número real, então nem todos os escalares mantêm o vetor dentro de .
Resposta
Então, concluindo tudo isso, o conjunto não é um subespaço vetorial de , porque não contém o vetor zero, nem é fechado para adição e multiplicação por escalar.