O máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação
de uma cavidade ocorre para um comprimento de onda de
(na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que o novo máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação
se torne três vezes maior.
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação.
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a distribuição espectral de intensidades de radiação emitida por uma cavidade, que é basicamente um objeto que emite luz em diferentes comprimentos de onda dependendo de sua temperatura. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei de Deslocamento de Wien, que relaciona o comprimento de onda no qual a radiação é máxima com a temperatura da cavidade. Precisamos entender como o comprimento de onda máximo muda quando a intensidade máxima da radiação aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Deslocamento de Wien, que diz que o produto do comprimento de onda no qual a intensidade é máxima (
) pela temperatura absoluta (
) da cavidade é constante. A fórmula é:
onde
é a constante de Wien, aproximadamente
.
Passo 3
Na situação inicial, temos que o comprimento de onda máximo
é
e a temperatura correspondente é
. Usando a Lei de Wien:
Então, podemos expressar a temperatura inicial como:
Passo 4
Agora, a intensidade máxima da radiação aumenta para três vezes seu valor inicial. Para isso, vamos considerar como a intensidade máxima está relacionada à temperatura. A intensidade máxima da radiação de um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
Então, se a nova intensidade
é três vezes a intensidade inicial
:
Tomando a raiz quarta dos dois lados:
Passo 5
Agora, usando novamente a Lei de Wien para a nova temperatura
e o novo comprimento de onda
:
Substituindo
da equação anterior:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Calculando
:
Então:
Resposta
O novo comprimento de onda máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação é aproximadamente
.