O máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação I1 de uma cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27,0 mu m (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que o novo máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação I2 se torne três vezes maior.
(b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a distribuição espectral de intensidades de radiação emitida por uma cavidade, que é basicamente um objeto que emite luz em diferentes comprimentos de onda dependendo de sua temperatura. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei de Deslocamento de Wien, que relaciona o comprimento de onda no qual a radiação é máxima com a temperatura da cavidade. Precisamos entender como o comprimento de onda máximo muda quando a intensidade máxima da radiação aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Deslocamento de Wien, que diz que o produto do comprimento de onda no qual a intensidade é máxima ( lambdamax) pela temperatura absoluta ( T) da cavidade é constante. A fórmula é:
lambdamax cdot T = b
onde b é a constante de Wien, aproximadamente 2,897 times 10^-3 , m cdot K.

Passo 3

Na situação inicial, temos que o comprimento de onda máximo lambda1 é 27,0 , mu m e a temperatura correspondente é T1. Usando a Lei de Wien:
lambda1 cdot T1 = b
Então, podemos expressar a temperatura inicial como:
T1 = blambda1

Passo 4

Agora, a intensidade máxima da radiação aumenta para três vezes seu valor inicial. Para isso, vamos considerar como a intensidade máxima está relacionada à temperatura. A intensidade máxima da radiação de um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
Imax propto T^4
Então, se a nova intensidade I2 é três vezes a intensidade inicial I1:
I2 = 3I1 Rightarrow T2^4 = 3T1^4
Tomando a raiz quarta dos dois lados:
T2 = 3^1/4 T1

Passo 5

Agora, usando novamente a Lei de Wien para a nova temperatura T2 e o novo comprimento de onda lambda2:
lambda2 cdot T2 = b
Substituindo T2 da equação anterior:
lambda2 cdot (3^1/4 T1) = b
Mas sabemos que T1 = blambda1, então substituindo:
lambda2 cdot (3^1/4 cdot blambda1) = b

Passo 6

Agora, vamos resolver para lambda2:
lambda2 cdot 3^1/4 cdot blambda1 = b
Dividindo ambos os lados por 3^1/4 cdot blambda1:
lambda2 = b3^1/4 cdot blambda1 = lambda13^1/4

Passo 7

Calculando 3^1/4:
3^1/4 approx 1,316
Então:
lambda2 = 27,0 , mu m1,316 approx 20,5 , mu m

Resposta

O novo comprimento de onda máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação é aproximadamente 20,5 , mu m.

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