O máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação
de uma cavidade ocorre para um comprimento de onda de
(na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que o novo máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação
se torne três vezes maior.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um problema sobre a distribuição espectral de intensidades de radiação em uma cavidade, que está na área de Radiação de Corpo Negro. A gente precisa usar a Lei de Wien e entender como a temperatura afeta o pico da distribuição de intensidade. Vamos precisar das fórmulas relacionadas à Lei de Wien e às propriedades da radiação de corpo negro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Wien. Essa lei nos diz que o comprimento de onda no qual a intensidade da radiação é máxima (λ_max) está inversamente relacionado à temperatura absoluta (T) do corpo negro. A fórmula é:
Onde $ b $ é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente igual a $ 2,898 \times 10^{-3} , m \cdot K $.
Passo 3
No primeiro estado, o comprimento de onda de pico é $ \lambda_1 = 27,0 , \mum $. Vamos converter isso para metros para ficar consistente com as unidades da constante $ b $:
Passo 4
Aplicando a Lei de Wien para o primeiro estado, temos:
Queremos encontrar o novo comprimento de onda ou a nova temperatura, mas vamos ver o que o exercício pede: a nova temperatura $ T_2 $ quando a intensidade máxima triplica.
Passo 5
Sabemos que a intensidade máxima da radiação de corpo negro é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência emitida por unidade de área é proporcional à quarta potência da temperatura:
No exercício, a nova intensidade $ I_2 $ é três vezes a original $ I_1 $:
Então:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a nova temperatura $ T_2 $:
Passo 7
Mas a gente ainda não sabe o valor de $ T_1 $. Podemos encontrar $ T_1 $ usando a Lei de Wien com $ \lambda_1 $:
Passo 8
Agora, substituindo $ T_1 $ na equação de $ T_2 $:
Resposta
A nova temperatura da cavidade é aproximadamente 141,2 K.