O máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação I1 de uma cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27,0 mu m (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que o novo máximo da distribuição espectral de intensidades de radiação I2 se torne três vezes maior.
(a) Determine a nova temperatura da cavidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um problema sobre a distribuição espectral de intensidades de radiação em uma cavidade, que está na área de Radiação de Corpo Negro. A gente precisa usar a Lei de Wien e entender como a temperatura afeta o pico da distribuição de intensidade. Vamos precisar das fórmulas relacionadas à Lei de Wien e às propriedades da radiação de corpo negro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Wien. Essa lei nos diz que o comprimento de onda no qual a intensidade da radiação é máxima (λ_max) está inversamente relacionado à temperatura absoluta (T) do corpo negro. A fórmula é:
lambdamax times T = b
Onde $ b $ é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente igual a $ 2,898 \times 10^{-3} , m \cdot K $.

Passo 3

No primeiro estado, o comprimento de onda de pico é $ \lambda_1 = 27,0 , \mum $. Vamos converter isso para metros para ficar consistente com as unidades da constante $ b $:
lambda1 = 27,0 , mum

Passo 4

Aplicando a Lei de Wien para o primeiro estado, temos:
lambda1 times T1 = b
Queremos encontrar o novo comprimento de onda ou a nova temperatura, mas vamos ver o que o exercício pede: a nova temperatura $ T_2 $ quando a intensidade máxima triplica.

Passo 5

Sabemos que a intensidade máxima da radiação de corpo negro é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência emitida por unidade de área é proporcional à quarta potência da temperatura:
I propto T^4
No exercício, a nova intensidade $ I_2 $ é três vezes a original $ I_1 $:
I2
Então:
I1

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a nova temperatura $ T_2 $:
T2
(T2T1)^4 = 3 implies T2T1 = raiz[4]3

Passo 7

Mas a gente ainda não sabe o valor de $ T_1 $. Podemos encontrar $ T_1 $ usando a Lei de Wien com $ \lambda_1 $:
T1

Passo 8

Agora, substituindo $ T_1 $ na equação de $ T_2 $:
T1

Resposta

A nova temperatura da cavidade é aproximadamente 141,2 K.

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