A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo? Resposta: 80 mulheres e 40 homens.
Passo 1
Vamos resolver um problema que envolve média aritmética. Temos um grupo de 120 pessoas com uma média de idade de 40 anos. Sabemos também que a média das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos. Precisamos descobrir quantas mulheres e quantos homens há nesse grupo. Para isso, vamos usar conceitos de média ponderada e equações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a média aritmética. A média é encontrada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos. No nosso caso, a média das idades do grupo todo é de 40 anos, e o número total de pessoas é 120. Então, a soma total das idades é:
Passo 3
Agora, vamos chamar o número de mulheres de $ W $ e o número de homens de $ H $. Sabemos que $ W + H = 120 $.
A média das mulheres é de 35 anos, então a soma das idades das mulheres é:
A média dos homens é de 50 anos, então a soma das idades dos homens é:
Passo 4
A soma total das idades das mulheres e dos homens deve ser igual à soma total das idades do grupo todo:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar $ W $ em termos de $ H $:
Substituímos $ W $ na segunda equação:
Passo 6
Agora, vamos distribuir o 35:
Combina os termos semelhantes:
Passo 7
Vamos isolar $ H $:
Passo 8
Agora que sabemos que há 40 homens, podemos encontrar o número de mulheres:
Resposta
No grupo, há 80 mulheres e 40 homens.