A medida da área de um quadrilátero pode ser calculada através da função M(x) = -x ao quadrado + 40x, em que x representa a medida de um dos lados desse quadrilátero e M(x) representa a área. Qual será a medida máxima da área desse quadrilátero?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função que calcula a área de um quadrilátero: $ M(x) = -x^2 + 40x $, onde $ x $ é a medida de um dos lados. A questão quer saber qual é o valor máximo dessa área. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e encontrar o ponto onde a área atinge seu pico máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função $ M(x) = -x^2 + 40x $ é uma função quadrática. Funções quadráticas têm a forma geral $ ax^2 + bx + c $ e são representadas por parábolas no gráfico. O sinal do coeficiente $ a $ determina se a parábola abre para cima ou para baixo.

Passo 3

No nosso caso, o coeficiente de $ x^2 $ é $ a = -1 $, que é negativo. Isso significa que a parábola abre para baixo, ou seja, ela tem um ponto mais alto que representa o valor máximo da função. Para encontrar esse ponto máximo, precisamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.

Passo 4

A fórmula para encontrar a coordenada $ x $ do vértice de uma função quadrática é:
x
Aqui, $ b = 40 $ e $ a = -1 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
x = -b2a
Então, o valor de $ x $ que maximiza a área é 20.

Passo 5

Agora que sabemos que $ x = 20 $ maximiza a área, vamos substituir esse valor na função original para encontrar a área máxima:
x = 20
Portanto, a área máxima do quadrilátero é 400.

Resposta

A medida máxima da área desse quadrilátero é 400.

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