Para medir distâncias utilizando-se das propriedades geométricas da luz, um estudante providencia uma caixa cúbica, de aresta 16 cm. Após pintar o interior com tinta preta, faz um orifício no centro de uma das faces e substitui a face oposta ao orifício por uma folha de papel vegetal. Feito isso, aponta o orifício para uma porta iluminada, obtendo dela uma imagem nítida, invertida e reduzida, projetada sobre a folha de papel vegetal. Sabendo-se que a altura da imagem observada da porta é 14cm e que a altura dela é 2,15 m, conclui-se que a distância aproximada, em metros, entre o orifício da caixa e a porta é:
a) 0,9 d) 3,5
b) 1,8 e) 4,8
c) 2,5
a) 0,9 d) 3,5
b) 1,8 e) 4,8
c) 2,5
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir a distância entre o orifício da caixa cúbica e a porta, usando as propriedades geométricas da luz. A matéria envolvida aqui é Óptica Geométrica, mais especificamente a formação de imagens em câmeras estenopeicas (ou pinhole cameras). Para resolver, vamos usar relações de semelhança de triângulos e entender como a imagem é formada através do orifício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Altura da imagem ($ h $): 14 cm = 0,14 m
- Altura do objeto real, ou seja, a porta ($ H $): 2,15 m
- Tamanho da aresta da caixa cúbica: 16 cm = 0,16 m
A caixa atua como uma câmera estenopeica, onde o orifício funciona como uma pequena abertura que forma a imagem na folha de papel vegetal.
Passo 3
Na câmera estenopeica, a formação da imagem segue a relação de semelhança de triângulos. A proporção entre a altura da imagem e a altura do objeto é igual à proporção entre a distância da imagem à abertura e a distância do objeto à abertura. A fórmula fica assim:
Onde:
- $ h $ é a altura da imagem
- $ H $ é a altura do objeto
- $ e $ é a distância entre o orifício e o papel vegetal (nesse caso, a aresta da caixa)
- $ D $ é a distância entre o orifício e a porta que queremos encontrar
Passo 4
Queremos encontrar $ D $, então vamos rearranjar a fórmula:
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Primeiro, multiplica o numerador:
Agora, divide pelo denominador:
Resposta
A distância aproximada entre o orifício da caixa e a porta é 2,5 metros.