A meia vida do iodo 131 é de 8 dias. Em quantos dias a atividade inicial dessa amostra, iodo 131, cairá para um quarto do valor inicial?

Passo 1

Então, temos um problema sobre a meia-vida do iodo-131. A meia-vida é o tempo que uma substância radioativa leva para reduzir sua atividade pela metade. Aqui, a meia-vida do iodo-131 é de 8 dias. A pergunta é: em quantos dias a atividade inicial dessa amostra vai diminuir para um quarto do valor inicial? Para resolver isso, vamos usar a fórmula da meia-vida na física nuclear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos que a atividade inicial, que chamaremos de $ A_0 $, diminua para $ \frac{1}{4}A_0 $. A fórmula que relaciona a atividade em um tempo $ t $ com a meia-vida $ T_{1/2} $ é:
A0

Passo 3

Substituindo os valores que temos na fórmula: $ A(t) = \frac{1}{4}A_0 $ e $ T_{1/2} = 8 $ dias, fica:
A(t) = 14A0

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
A0

Passo 5

Para resolver isso, podemos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(14) = t8 ln(12)

Passo 6

Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4) $ e $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) $. Substituindo na equação:
ln(14) = -ln(4)

Passo 7

Os sinais negativos se cancelam, então temos:
ln(4) = t8 ln(2)

Passo 8

Isolando $ t $:
t

Passo 9

Sabemos que $ \ln(4) = 2\ln(2) $, então substituímos:
ln(4) = 2ln(2)

Resposta

A atividade inicial do iodo-131 cairá para um quarto do valor inicial em 16 dias.

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