O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral
, mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de
e
. Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares (
) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio
é
se
e
especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre geodésicas, que são os menores caminhos entre dois pontos em uma superfície curva, tipo uma esfera. A missão aqui é mostrar como calcular o comprimento desse caminho usando coordenadas esféricas polares (
). Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especialmente integrais, e como elas se aplicam nas coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a gente calcula o comprimento de um caminho numa superfície. Em coordenadas cartesianas, a gente usa a integral
Mas na esfera, a gente está lidando com coordenadas diferentes, então precisamos adaptar essa fórmula.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, cada ponto na esfera de raio
é dado por
, onde
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal. Para encontrar o comprimento do caminho, vamos expressar o diferencial de comprimento
em função de
e
.
Passo 4
O diferencial de comprimento na esfera pode ser escrito como
Isso vem da fórmula geral para o comprimento de arco em coordenadas esféricas.
Passo 5
Como o caminho é expresso como
, a gente pode substituir
por
. Assim, a expressão para
fica:
Resposta
Portanto, o comprimento do caminho é dado por