O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral , mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de e . Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares ( ) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio é
se e especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre geodésicas, que são os menores caminhos entre dois pontos em uma superfície curva, tipo uma esfera. A missão aqui é mostrar como calcular o comprimento desse caminho usando coordenadas esféricas polares ( ). Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especialmente integrais, e como elas se aplicam nas coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a gente calcula o comprimento de um caminho numa superfície. Em coordenadas cartesianas, a gente usa a integral
Mas na esfera, a gente está lidando com coordenadas diferentes, então precisamos adaptar essa fórmula.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, cada ponto na esfera de raio é dado por , onde é o ângulo polar e é o ângulo azimutal. Para encontrar o comprimento do caminho, vamos expressar o diferencial de comprimento em função de e .

Passo 4

O diferencial de comprimento na esfera pode ser escrito como
Isso vem da fórmula geral para o comprimento de arco em coordenadas esféricas.

Passo 5

Como o caminho é expresso como , a gente pode substituir por . Assim, a expressão para fica:

Resposta

Portanto, o comprimento do caminho é dado por

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