O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral L= integral1^2 d s=integralx1^x2 raiz1+y(x)^prime 2 d x, mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de x e y. Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares ( r, theta, phi ) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio R é
L=R integraltheta1^theta2 raiz1+sen^2 theta phi^prime(theta)^2 d theta
se (theta1, phi) e (theta2, phi) especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como phi=phi(theta).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre geodésicas, que são os menores caminhos entre dois pontos em uma superfície curva, tipo uma esfera. A missão aqui é mostrar como calcular o comprimento desse caminho usando coordenadas esféricas polares ( r, theta, phi). Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especialmente integrais, e como elas se aplicam nas coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a gente calcula o comprimento de um caminho numa superfície. Em coordenadas cartesianas, a gente usa a integral
L = integralx1^x2 raiz1 + (y'(x))^2 , dx
Mas na esfera, a gente está lidando com coordenadas diferentes, então precisamos adaptar essa fórmula.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, cada ponto na esfera de raio R é dado por (R, theta, phi), onde theta é o ângulo polar e phi é o ângulo azimutal. Para encontrar o comprimento do caminho, vamos expressar o diferencial de comprimento ds em função de dtheta e dphi.

Passo 4

O diferencial de comprimento na esfera pode ser escrito como
ds = R raizdtheta^2 + sin^2 theta , dphi^2
Isso vem da fórmula geral para o comprimento de arco em coordenadas esféricas.

Passo 5

Como o caminho é expresso como phi = phi(theta), a gente pode substituir dphi por phi'(theta) dtheta. Assim, a expressão para ds fica:
ds = R raiz1 + sin^2 theta (phi'(theta))^2 , dtheta

Resposta

Portanto, o comprimento do caminho é dado por
L = R integraltheta1^theta2 raiz1 + sin^2 theta (phi'(theta))^2 , dtheta

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