O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral
, mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de
e
. Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares (
) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio
é
se
e
especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre geodésicas, que são os menores caminhos entre dois pontos em uma superfície curva, tipo uma esfera. A missão aqui é mostrar como calcular o comprimento desse caminho usando coordenadas esféricas polares (
). Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especialmente integrais, e como elas se aplicam nas coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a gente calcula o comprimento de um caminho numa superfície. Em coordenadas cartesianas, a gente usa a integral
Mas na esfera, a gente está lidando com coordenadas diferentes, então precisamos adaptar essa fórmula.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, cada ponto na esfera de raio
é dado por
, onde
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal. Para encontrar o comprimento do caminho, vamos expressar o diferencial de comprimento
em função de
e
.
Passo 4
O diferencial de comprimento na esfera pode ser escrito como
Isso vem da fórmula geral para o comprimento de arco em coordenadas esféricas.
Passo 5
Como o caminho é expresso como
, a gente pode substituir
por
. Assim, a expressão para
fica:
Resposta
Portanto, o comprimento do caminho é dado por
Exercícios relacionados
Uma mangueira, com bico a
acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de
com o chão.
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?
Analise as afirmações que se seguem sobre as Leis de Newton. Julgue:
( ) Inércia é a propriedade dos corpos resistirem à gravidade no seu estado de movimento ou repouso.
( ) Um corpo está sujeito a ação de um número par de forças, pois cada ação corresponde a uma reação.
( ) Um corpo livre a ação de forças externas está em repouso.
( ) Se a resultante de todas as forças que atuam num corpo for nula, ele necessariamente estará em repouso.
( ) A aceleração que uma força provoca num corpo é proporcional à massa do corpo e possui a mesma direção e sentido da força.
( ) Inércia é a propriedade dos corpos resistirem à gravidade no seu estado de movimento ou repouso.
( ) Um corpo está sujeito a ação de um número par de forças, pois cada ação corresponde a uma reação.
( ) Um corpo livre a ação de forças externas está em repouso.
( ) Se a resultante de todas as forças que atuam num corpo for nula, ele necessariamente estará em repouso.
( ) A aceleração que uma força provoca num corpo é proporcional à massa do corpo e possui a mesma direção e sentido da força.
O vetor
possui comprimento igual a
e está no primeiro quadrante a
acima do eixo x. O vetor
possui comprimento igual a
e está no quarto quadrante a
abaixo do eixo x. Use as componentes para encontrar o módulo e a direção de
.
Cite exemplos de forças conservativas e dissipativas?