O vetor A possui comprimento igual a 2,80 cm e está no primeiro quadrante a 60,0^circ acima do eixo x. O vetor B possui comprimento igual a 1,90 cm e está no quarto quadrante a 60,0^circ abaixo do eixo x. Use as componentes para encontrar o módulo e a direção de A+B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão fala sobre dois vetores, A e B, com comprimentos e direções específicas. Nosso objetivo é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção da soma desses dois vetores, A + B, usando as componentes deles.
Para isso, vamos precisar saber como decompor vetores nas direções dos eixos x e y, somar essas componentes e depois calcular o módulo e a direção do vetor resultante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos decompor cada vetor em suas componentes horizontais (x) e verticais (y). Para isso, usamos funções trigonométricas básicas: cosseno para a componente x e seno para a componente y.
Para o vetor A:
  • Comprimento: 2,80 cm
  • Ângulo: 60,0^circ acima do eixo x
As componentes de A são:
Ax = A cdot cos(60^circ) = 2,80 cdot cos(60^circ)
Ay = A cdot sin(60^circ) = 2,80 cdot sin(60^circ)
Para o vetor B:
  • Comprimento: 1,90 cm
  • Ângulo: 60,0^circ abaixo do eixo x (quarto quadrante)
As componentes de B são:
Bx = B cdot cos(60^circ) = 1,90 cdot cos(60^circ)
By = B cdot sin(-60^circ) = 1,90 cdot sin(-60^circ)
Lembre-se: Como B está no quarto quadrante, a componente y será negativa.

Passo 3

Vamos calcular os valores das componentes usando as funções trigonométricas. Sabemos que:
cos(60^circ) = 0,5
sin(60^circ) = raiz32 approx 0,8660
Agora, substituindo:
Para A:
Ax = 2,80 cdot 0,5 = 1,40 cm
Ay = 2,80 cdot 0,8660 approx 2,425 cm
Para B:
Bx = 1,90 cdot 0,5 = 0,95 cm
By = 1,90 cdot (-0,8660) approx -1,645 cm

Passo 4

Agora que temos as componentes dos vetores A e B, vamos somá-las para encontrar as componentes do vetor resultante A + B.
(A + B)x = Ax + Bx = 1,40 + 0,95 = 2,35 cm
(A + B)y = Ay + By = 2,425 + (-1,645) approx 0,780 cm

Passo 5

Com as componentes do vetor A + B em mãos, vamos calcular o módulo desse vetor. Usamos a fórmula do módulo de um vetor a partir de suas componentes:
|A + B| = raiz(A + B)x^2 + (A + B)y^2
Substituindo:
|A + B| = raiz(2,35)^2 + (0,780)^2 = raiz5,5225 + 0,6084 = raiz6,1309 approx 2,476 cm

Passo 6

Agora, vamos determinar a direção do vetor A + B. Para isso, usamos a função arco-tangente (tan⁻¹) das componentes y e x:
theta = tan^-1((A + B)y(A + B)x) = tan^-1(0,7802,35)
Calculando:
theta approx tan^-1(0,332) approx 18,3^circ
Esse ângulo está acima do eixo x, já que a componente y é positiva.

Resposta

O vetor A + B tem módulo de aproximadamente 2,48 cm e está a 18,3^circ acima do eixo x.

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