O vetor possui comprimento igual a e está no primeiro quadrante a acima do eixo x. O vetor possui comprimento igual a e está no quarto quadrante a abaixo do eixo x. Use as componentes para encontrar o módulo e a direção de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão fala sobre dois vetores, e , com comprimentos e direções específicas. Nosso objetivo é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção da soma desses dois vetores, , usando as componentes deles.
Para isso, vamos precisar saber como decompor vetores nas direções dos eixos x e y, somar essas componentes e depois calcular o módulo e a direção do vetor resultante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos decompor cada vetor em suas componentes horizontais (x) e verticais (y). Para isso, usamos funções trigonométricas básicas: cosseno para a componente x e seno para a componente y.
Para o vetor :
  • Comprimento:
  • Ângulo: acima do eixo x
As componentes de são:
Para o vetor :
  • Comprimento:
  • Ângulo: abaixo do eixo x (quarto quadrante)
As componentes de são:
Lembre-se: Como está no quarto quadrante, a componente y será negativa.

Passo 3

Vamos calcular os valores das componentes usando as funções trigonométricas. Sabemos que:
Agora, substituindo:
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos as componentes dos vetores e , vamos somá-las para encontrar as componentes do vetor resultante .

Passo 5

Com as componentes do vetor em mãos, vamos calcular o módulo desse vetor. Usamos a fórmula do módulo de um vetor a partir de suas componentes:
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos determinar a direção do vetor . Para isso, usamos a função arco-tangente (tan⁻¹) das componentes y e x:
Calculando:
Esse ângulo está acima do eixo x, já que a componente y é positiva.

Resposta

O vetor tem módulo de aproximadamente e está a acima do eixo x.

Exercícios relacionados

O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral , mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de e . Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares ( ) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio é
se e especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como .
Uma mangueira, com bico a acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de com o chão.
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?
Cite exemplos de forças conservativas e dissipativas?
Quais as duas grandezas físicas envolvidas no conceito de trabalho?