Uma mangueira, com bico a
acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de
com o chão.
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma mangueira que está 1,5 metros acima do chão e está jogando água para cima, fazendo um ângulo de 30° com o chão. A água atinge um canteiro que está a 15 metros de distância. Vamos usar o estudo de movimento projetado para resolver esse exercício. Precisamos entender as componentes da velocidade inicial e aplicar as equações do movimento para encontrar o tempo que a água leva para atingir o solo, a velocidade inicial do jato, a velocidade com que ele sai da mangueira e a altura máxima que ele alcança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o movimento da água pode ser dividido em duas partes: horizontal e vertical. Isso significa que podemos analisar o movimento horizontal e vertical separadamente usando as fórmulas da cinemática.
Passo 3
Vamos chamar a velocidade inicial do jato de
. Como o jato é lançado com um ângulo de
em relação ao chão, podemos separar essa velocidade em suas componentes horizontal (
) e vertical (
) usando funções trigonométricas:
Passo 4
Sabemos que a distância horizontal percorrida (
) é de 15 metros. No movimento horizontal, não há aceleração (desconsiderando a resistência do ar), então a distância é dada por:
Onde
é o tempo total de voo que queremos encontrar na parte a).
Passo 5
No movimento vertical, temos a aceleração devido à gravidade (
) atuando para baixo. A posição vertical final será zero quando a água atingir o solo, mas ela começou a partir de 1,5 metros de altura. Usamos a equação:
Onde
,
.
Passo 6
Vamos resolver a parte a) primeiro: Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
Substituindo na equação vertical:
Mas precisamos de outra equação para relacionar
e
. Vamos usar a distância horizontal:
Agora, substituímos
na equação vertical:
Simplificando:
Sabendo que
e
:
Calculando os valores:
Agora que temos
, podemos encontrar o tempo
:
Resposta
a) O tempo gasto até o jato de água atingir o solo é aproximadamente 1,44 segundos.
b) O vetor velocidade inicial do jato é dado por:
c) A velocidade com que o jato sai da mangueira é aproximadamente 12,02 m/s.
d) Para achar a altura máxima atingida, usamos a componente vertical da velocidade:
Portanto, a altura máxima que o jato atinge é aproximadamente 3,34 metros.
Exercícios relacionados
Analise as afirmações que se seguem sobre as Leis de Newton. Julgue:
( ) Inércia é a propriedade dos corpos resistirem à gravidade no seu estado de movimento ou repouso.
( ) Um corpo está sujeito a ação de um número par de forças, pois cada ação corresponde a uma reação.
( ) Um corpo livre a ação de forças externas está em repouso.
( ) Se a resultante de todas as forças que atuam num corpo for nula, ele necessariamente estará em repouso.
( ) A aceleração que uma força provoca num corpo é proporcional à massa do corpo e possui a mesma direção e sentido da força.
( ) Inércia é a propriedade dos corpos resistirem à gravidade no seu estado de movimento ou repouso.
( ) Um corpo está sujeito a ação de um número par de forças, pois cada ação corresponde a uma reação.
( ) Um corpo livre a ação de forças externas está em repouso.
( ) Se a resultante de todas as forças que atuam num corpo for nula, ele necessariamente estará em repouso.
( ) A aceleração que uma força provoca num corpo é proporcional à massa do corpo e possui a mesma direção e sentido da força.
Um jogador de futebol chutou uma bola no solo com velocidade inicial de módulo 15,0m/s e fazendo um ângulo
com a horizontal. O goleiro, situado a
da posição inicial da bola, interceptou-a no ar. Calcule a altura em que estava a bola quando foi interceptada. Despreze a resistência do ar e considere
e cos
.
O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral
, mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de
e
. Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares (
) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio
é
se
e
especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como
.
O vetor
possui comprimento igual a
e está no primeiro quadrante a
acima do eixo x. O vetor
possui comprimento igual a
e está no quarto quadrante a
abaixo do eixo x. Use as componentes para encontrar o módulo e a direção de
.