Uma mangueira, com bico a 1,5 m acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de 30^circ com o chão.
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma mangueira que está 1,5 metros acima do chão e está jogando água para cima, fazendo um ângulo de 30° com o chão. A água atinge um canteiro que está a 15 metros de distância. Vamos usar o estudo de movimento projetado para resolver esse exercício. Precisamos entender as componentes da velocidade inicial e aplicar as equações do movimento para encontrar o tempo que a água leva para atingir o solo, a velocidade inicial do jato, a velocidade com que ele sai da mangueira e a altura máxima que ele alcança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o movimento da água pode ser dividido em duas partes: horizontal e vertical. Isso significa que podemos analisar o movimento horizontal e vertical separadamente usando as fórmulas da cinemática.

Passo 3

Vamos chamar a velocidade inicial do jato de v0x = v0 cdot cos(30^circ) . Como o jato é lançado com um ângulo de v0y = v0 cdot sin(30^circ) em relação ao chão, podemos separar essa velocidade em suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ) usando funções trigonométricas:

Passo 4

Sabemos que a distância horizontal percorrida ( R = v0x cdot t ) é de 15 metros. No movimento horizontal, não há aceleração (desconsiderando a resistência do ar), então a distância é dada por:
Onde é o tempo total de voo que queremos encontrar na parte a).

Passo 5

No movimento vertical, temos a aceleração devido à gravidade ( y = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 ) atuando para baixo. A posição vertical final será zero quando a água atingir o solo, mas ela começou a partir de 1,5 metros de altura. Usamos a equação:
Onde , .

Passo 6

Vamos resolver a parte a) primeiro: Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
Substituindo na equação vertical:
0 = 1,5 + v0 cdot sin(30^circ) cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Mas precisamos de outra equação para relacionar 15 = v0 cdot cos(30^circ) cdot t e t = 15v0 cdot cos(30^circ) . Vamos usar a distância horizontal:
0 = 1,5 + v0 cdot sin(30^circ) cdot ( 15v0 cdot cos(30^circ) ) - 12 cdot 9,8 cdot ( 15v0 cdot cos(30^circ) )^2
0 = 1,5 + 15 cdot sin(30^circ)cos(30^circ) - 12 cdot 9,8 cdot 225v0^2 cdot cos^2(30^circ)
Agora, substituímos 0 = 1,5 + 15 cdot 0,50,8660 - 12 cdot 9,8 cdot 225v0^2 cdot 0,75 na equação vertical:
0 = 1,5 + 7,50,8660 - 12 cdot 9,8 cdot 2250,75 v0^2
Simplificando:
0 = 1,5 + 8,66 - 12 cdot 9,8 cdot 300 / v0^2
Sabendo que 0 = 10,16 - 1470v0^2 e 1470v0^2 = 10,16 :
v0^2 = 147010,16 approx 144,5
Calculando os valores:
v0 approx 12,02 , m/s
t = 1512,02 cdot 0,8660 approx 1510,40 approx 1,44 , s
Agora que temos , podemos encontrar o tempo :

Resposta

a) O tempo gasto até o jato de água atingir o solo é aproximadamente 1,44 segundos.
b) O vetor velocidade inicial do jato é dado por:
v0 = ( v0 cdot cos(30^circ),, v0 cdot sin(30^circ) ) approx (12,02 cdot 0,8660,, 12,02 cdot 0,5) approx (10,40, m/s,, 6,01, m/s)
c) A velocidade com que o jato sai da mangueira é aproximadamente 12,02 m/s.
d) Para achar a altura máxima atingida, usamos a componente vertical da velocidade:
h = y0 + v0y^22g = 1,5 + (6,01)^22 cdot 9,8 approx 1,5 + 36,1219,6 approx 1,5 + 1,84 approx 3,34 , metros
Portanto, a altura máxima que o jato atinge é aproximadamente 3,34 metros.

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