Uma mangueira, com bico a acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de com o chão.
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
b) Qual o vetor velocidade inicial do jato?
c) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
d) Que altura ele atinge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma mangueira que está 1,5 metros acima do chão e está jogando água para cima, fazendo um ângulo de 30° com o chão. A água atinge um canteiro que está a 15 metros de distância. Vamos usar o estudo de movimento projetado para resolver esse exercício. Precisamos entender as componentes da velocidade inicial e aplicar as equações do movimento para encontrar o tempo que a água leva para atingir o solo, a velocidade inicial do jato, a velocidade com que ele sai da mangueira e a altura máxima que ele alcança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o movimento da água pode ser dividido em duas partes: horizontal e vertical. Isso significa que podemos analisar o movimento horizontal e vertical separadamente usando as fórmulas da cinemática.

Passo 3

Vamos chamar a velocidade inicial do jato de . Como o jato é lançado com um ângulo de em relação ao chão, podemos separar essa velocidade em suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ) usando funções trigonométricas:

Passo 4

Sabemos que a distância horizontal percorrida ( ) é de 15 metros. No movimento horizontal, não há aceleração (desconsiderando a resistência do ar), então a distância é dada por:
Onde é o tempo total de voo que queremos encontrar na parte a).

Passo 5

No movimento vertical, temos a aceleração devido à gravidade ( ) atuando para baixo. A posição vertical final será zero quando a água atingir o solo, mas ela começou a partir de 1,5 metros de altura. Usamos a equação:
Onde , .

Passo 6

Vamos resolver a parte a) primeiro: Qual o tempo gasto até o jato de água atingir o solo?
Substituindo na equação vertical:
Mas precisamos de outra equação para relacionar e . Vamos usar a distância horizontal:
Agora, substituímos na equação vertical:
Simplificando:
Sabendo que e :
Calculando os valores:
Agora que temos , podemos encontrar o tempo :

Resposta

a) O tempo gasto até o jato de água atingir o solo é aproximadamente 1,44 segundos.
b) O vetor velocidade inicial do jato é dado por:
c) A velocidade com que o jato sai da mangueira é aproximadamente 12,02 m/s.
d) Para achar a altura máxima atingida, usamos a componente vertical da velocidade:
Portanto, a altura máxima que o jato atinge é aproximadamente 3,34 metros.

Exercícios relacionados

Analise as afirmações que se seguem sobre as Leis de Newton. Julgue:
( ) Inércia é a propriedade dos corpos resistirem à gravidade no seu estado de movimento ou repouso.
( ) Um corpo está sujeito a ação de um número par de forças, pois cada ação corresponde a uma reação.
( ) Um corpo livre a ação de forças externas está em repouso.
( ) Se a resultante de todas as forças que atuam num corpo for nula, ele necessariamente estará em repouso.
( ) A aceleração que uma força provoca num corpo é proporcional à massa do corpo e possui a mesma direção e sentido da força.
Um jogador de futebol chutou uma bola no solo com velocidade inicial de módulo 15,0m/s e fazendo um ângulo com a horizontal. O goleiro, situado a da posição inicial da bola, interceptou-a no ar. Calcule a altura em que estava a bola quando foi interceptada. Despreze a resistência do ar e considere e cos .
O menor caminho entre dois pontos sobre uma superfície curva, como a superfície de uma esfera, é chamado de geodésica. Para determinar uma geodésica, temos primeiro que estabelecer uma integral que forneça o comprimento de um caminho sobre a superfície em questão. Isso será sempre análoga à integral , mas pode ser mais complicado (dependendo da natureza da superfície), podendo envolver coordenadas diferentes de e . Para ilustrar isso, use coordenadas esféricas polares ( ) para mostrar que o comprimento de um caminho ligando dois pontos sobre a esfera de raio é
se e especifica os dois pontos e assumimos que o caminho é expresso como .
O vetor possui comprimento igual a e está no primeiro quadrante a acima do eixo x. O vetor possui comprimento igual a e está no quarto quadrante a abaixo do eixo x. Use as componentes para encontrar o módulo e a direção de .