Mercúrio é um metal líquido à temperatura ambiente que, devido à grande interação entre os seus átomos, apresenta uma altíssima tensão superficial ( gamma=435,5 mN / m ). Considere uma amostra de mercúrio com forma esférica, de raio 1,000 cm. Essa amostra precisa ser dividida em 10 esferas menores e, para isso é necessário realizar trabalho sobre essa superficie. A área superficial da gota inicial (A1) é diferente da área superficial das 10 gotas que serão obtidas (A2) e o trabalho (W) a ser realizado será o produto entre a tensão superficial do líquido (gamma) e a variação da área nas duas condições estudadas (De. Determine qual o trabalho (W) que será necessário para separar a amostra de mercúrio nas 10 esferas de líquido.
Dado: Área de uma esfera: 4 pi r^2
Volume de uma esfera: 43 pi r^3

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma gota de mercúrio com raio de 1,000 cm e queremos dividi-la em 10 gotinhas menores. O que precisamos calcular é o trabalho necessário para essa divisão, que está relacionado à mudança na área superficial da gota. Vamos usar conceitos de área e volume de esferas, além da tensão superficial do mercúrio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial da gota inicial. A fórmula para a área de uma esfera é:
A = 4 pi r^2
Aqui, A1 = 4 pi (1,000)^2 = 4 pi times 1.000.000 = 4.000.000 pi , cm^2 cm. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o volume da gota inicial usando a fórmula:
V = 43 pi r^3
Substituindo V = 43 pi (1,000)^3 = 43 pi times 1.000.000.000 = 4.000.000.0003 pi , cm^3 cm:

Passo 4

Queremos dividir esse volume em 10 gotinhas iguais. Então, o volume de cada gotinha será:
Vmenor = V10 = 4.000.000.0003 pi10 = 4.000.000.00030 pi = 400.000.0003 pi , cm^3

Passo 5

Agora, encontramos o raio de cada gotinha menor. Usamos a fórmula do volume da esfera e resolvemos para Vmenor = 43 pi r^3 Rightarrow r^3 = 3 Vmenor4 pi :
r^3 = 3 times 400.000.0003 pi4 pi = 400.000.0004 = 100.000.000
Substituindo r = raiz[3]100.000.000 approx 464,16 , cm :
Então,

Passo 6

Com o raio de cada gotinha menor, calculamos a área superficial de uma gotinha menor:
Amenor = 4 pi r^2 = 4 pi (464,16)^2 approx 4 pi times 215.373 approx 861.492 pi , cm^2
Como são 10 gotinhas:
A2 = 10 times Amenor = 10 times 861.492 pi approx 8.614.920 pi , cm^2

Passo 7

Agora, calculamos a variação da área superficial:
De

Passo 8

Finalmente, calculamos o trabalho De necessário usando a tensão superficial W = gamma times De. Primeiro, vamos converter as unidades para que elas fiquem compatíveis. Sabendo que W approx 0,4355 times 461,492 times 3,1416 approx 0,4355 times 1.450.033 approx 630,88 , J e :
Agora, o trabalho:
Calculando:

Resposta

O trabalho necessário para dividir a amostra de mercúrio em 10 esferas menores é aproximadamente 630,88 Joules.

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