Um mergulhador no mar se encontra em uma profundidade de 25 m por onde passa uma corrente de água fria de temperatura 4^circ C. Devido à força de empuxo uma bolha de ar expelida pelo mergulhador se desloca até a superficie, onde a temperatura da água é 10^circ C. Supondo que o calor específico a volume constante do ar na bolha é CV=72 R, determine:
O trabalho por mol, W / n, realizado pelo ar dentro da bolha durante a subida.

Passo 1

Então, temos um mergulhador que está a 25 metros de profundidade no mar, onde a água está a 4°C. Ele solta uma bolha de ar que sobe até a superfície, onde a temperatura da água é de 10°C. Queremos descobrir quanto trabalho, por mol de ar, essa bolha realiza durante a subida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados ao trabalho realizado por gases durante expansão.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a pressão muda com a profundidade. A pressão total $ P $ em uma profundidade $ h $ é a soma da pressão atmosférica $ P_0 $ e da pressão exercida pela coluna de água. A fórmula para isso é:
P
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a profundidade em metros.

Passo 3

Calculando a pressão a 25 metros de profundidade:
P = P0 + rho g h = 1 , atm + (1000 , kg/m^3)(9,81 , m/s^2)(25 , m)
Convertendo $ 1 , atm $ para pascais ($ 1 , atm = 101325 , Pa $) e calculando a pressão exercida pela água:
1 , atm

Passo 4

Na superfície, a pressão é apenas a pressão atmosférica $ P_0 = 101325 , Pa $, e a temperatura da água é de 10°C.

Passo 5

Assumindo que o processo de subida da bolha é adiabático (sem troca de calor com o ambiente), podemos usar a relação adiabática para um gás ideal:
P V^gamma = constante
Onde $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $. Sabemos que $ C_V = \frac{7}{2} R $, e para um gás diatômico como o ar, $ C_P = C_V + R $, então:
gamma = CPCV

Passo 6

O trabalho realizado por um gás em um processo adiabático é dado por:
W = Pf Vf - Pi Vi1 - gamma
Mas como queremos o trabalho por mol, vamos expressar as pressões e volumes em termos de mols usando a equação de estado dos gases ideais:
P V = n R T

Passo 7

Substituindo as pressões e volumes na expressão do trabalho:
W = n R Tf - n R Ti1 - gamma = n R (Tf - Ti)1 - gamma
Wn = R (Tf - Ti)1 - gamma

Passo 8

Calculando $ T_i $ e $ T_f $ em Kelvin:
Ti
Tf
Substituindo na fórmula:
Ti = 4°C = 277 , K
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo gás.

Resposta

O trabalho por mol realizado pelo ar dentro da bolha durante a subida é $ W/n = 21, R $.

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