Um mergulhador no mar se encontra em uma profundidade de 25 m por onde passa uma corrente de água fria de temperatura
. Devido à força de empuxo uma bolha de ar expelida pelo mergulhador se desloca até a superficie, onde a temperatura da água é
. Supondo que o calor específico a volume constante do ar na bolha é
, determine:
O trabalho por mol,
, realizado pelo ar dentro da bolha durante a subida.
O trabalho por mol,
Passo 1
Então, temos um mergulhador que está a 25 metros de profundidade no mar, onde a água está a 4°C. Ele solta uma bolha de ar que sobe até a superfície, onde a temperatura da água é de 10°C. Queremos descobrir quanto trabalho, por mol de ar, essa bolha realiza durante a subida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados ao trabalho realizado por gases durante expansão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a pressão muda com a profundidade. A pressão total $ P $ em uma profundidade $ h $ é a soma da pressão atmosférica $ P_0 $ e da pressão exercida pela coluna de água. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $),
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
- $ h $ é a profundidade em metros.
Passo 3
Calculando a pressão a 25 metros de profundidade:
Convertendo $ 1 , atm $ para pascais ($ 1 , atm = 101325 , Pa $) e calculando a pressão exercida pela água:
Passo 4
Na superfície, a pressão é apenas a pressão atmosférica $ P_0 = 101325 , Pa $, e a temperatura da água é de 10°C.
Passo 5
Assumindo que o processo de subida da bolha é adiabático (sem troca de calor com o ambiente), podemos usar a relação adiabática para um gás ideal:
Onde $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $. Sabemos que $ C_V = \frac{7}{2} R $, e para um gás diatômico como o ar, $ C_P = C_V + R $, então:
Passo 6
O trabalho realizado por um gás em um processo adiabático é dado por:
Mas como queremos o trabalho por mol, vamos expressar as pressões e volumes em termos de mols usando a equação de estado dos gases ideais:
Passo 7
Substituindo as pressões e volumes na expressão do trabalho:
Passo 8
Calculando $ T_i $ e $ T_f $ em Kelvin:
Substituindo na fórmula:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo gás.
Resposta
O trabalho por mol realizado pelo ar dentro da bolha durante a subida é $ W/n = 21, R $.