Se a-b=2 c e a+b=4 c, e c=3 i+4 j, então quais são os vetores a e b (e também suas magnitudes e ângulos em relação à direção positiva de x )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! O enunciado nos dá duas equações envolvendo os vetores a, b e c, e também o vetor c está especificado. Nosso objetivo é encontrar os vetores a e b, calcular suas magnitudes (ou seja, o tamanho de cada vetor) e os ângulos que eles formam com a direção positiva do eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma e subtração de vetores, além de fórmulas para calcular magnitudes e ângulos.

Passo 2

Primeiro, temos as duas equações:
  1. a - b = 2c
  2. a + b = 4c
Vamos somar essas duas equações para eliminar o b. Quando somamos:
(a - b) + (a + b) = 2c + 4c
Isso simplifica para:
2a = 6c
Agora, para encontrar a, basta dividir ambos os lados por 2:
a = 3c

Passo 3

Agora que encontramos a, podemos usar uma das equações originais para encontrar b. Vamos usar a segunda equação:
a + b = 4c
Substituindo a por 3c:
3c + b = 4c
Para encontrar b, subtraímos 3c de ambos os lados:
b = 4c - 3c = c

Passo 4

Sabemos que c = 3î + 4ĵ. Agora, podemos substituir c nas expressões de a e b:
a = 3c = 3*(3î + 4ĵ) = 9î + 12ĵ
b = c = 3î + 4ĵ

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes de a e b. A magnitude de um vetor v = xî + yĵ é dada por:
|v| = √(x² + y²)
Para a = 9î + 12ĵ:
|a| = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15
Para b = 3î + 4ĵ:
|b| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar os ângulos que a e b formam com a direção positiva do eixo x. O ângulo θ pode ser encontrado usando a tangente:
θ = arctan(y / x)
Para a = 9î + 12ĵ:
θₐ = arctan(12 / 9) = arctan(4/3) ≈ 53,13°
Para b = 3î + 4ĵ:
θ_b = arctan(4 / 3) ≈ 53,13°

Resposta

Os vetores são:
  • a = 9î + 12ĵ, com magnitude 15 e ângulo de aproximadamente 53,13° em relação ao eixo positivo de x.
  • b = 3î + 4ĵ, com magnitude 5 e ângulo de aproximadamente 53,13° em relação ao eixo positivo de x.

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