O mestre de obras John e seu ajudante Johnny precisam calcular a altura de um navio ancorado no porto. Para tal, utilizaram a trigonometria no cálculo da altura de objetos inacessíveis. O mestre se posiciona em um ponto A de tal modo que observa o topo do navio por um ângulo de 30°. Em linha reta, seu ajudante está 20 metros mais próximo do navio e observa o topo do navio por um ângulo de 60°. A altura do navio, em metros, é igual a:
a) 10
b) 10√2
c) 10-√3
d) 20
e) 20√3
a) 10
b) 10√2
c) 10-√3
d) 20
e) 20√3
Passo 1
Vamos resolver esse problema de trigonometria juntos! A gente precisa descobrir a altura de um navio usando os ângulos de elevação observados por duas pessoas em posições diferentes. Para isso, vamos usar trigonometria básica, especialmente a relação entre os ângulos e os lados dos triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine o navio com altura $ h $. O mestre de obras John está em um ponto A e observa o topo do navio com um ângulo de 30°. O ajudante Johnny está 20 metros mais perto, no ponto B, observando o topo com um ângulo de 60°. Isso forma dois triângulos retângulos:
- Triângulo formado por John: Ângulo de 30°, lado oposto $ h $ e lado adjacente $ x $ (a distância de John ao navio).
- Triângulo formado por Johnny: Ângulo de 60°, lado oposto $ h $ e lado adjacente $ x - 20 $ (já que Johnny está 20 metros mais perto).
Passo 3
Vamos lembrar da tangente do ângulo em um triângulo retângulo, que é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente:
Para John:
Sabemos que $ \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, então:
Passo 4
Para Johnny:
Sabemos que $ \tan(60°) = \sqrt{3} $, então:
Passo 5
Agora temos duas expressões para $ h $:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ x $.
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{3} $ para eliminar o denominador:
Expandindo:
Subtraindo $ 3x $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -2:
Passo 6
Agora que sabemos que $ x = 30 $ metros, podemos encontrar a altura $ h $ usando uma das equações anteriores. Vamos usar $ h = \frac{x}{\sqrt{3}} $:
Resposta
A altura do navio é igual a $ 10\sqrt{3} $ metros.