Uma moça (massa
) está em pé na borda de um carrossel (massa
, raio
e inércia rotacional
) sem atrito e em repouso. Ela joga uma pedra (massa
) em uma direção horizontal que é tangente à borda externa do carrossel. A velocidade da pedra, em relação ao solo, é
. Qual é a velocidade linear da moça depois que a pedra foi jogada? Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão envolve uma moça de massa $ M $ que está na borda de um carrossel com massa $ 10M $, raio $ R $ e inércia rotacional $ I $. O carrossel está sem atrito e em repouso. A moça joga uma pedra de massa $ m $ em uma direção tangente à borda do carrossel com velocidade $ v $ em relação ao solo. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade linear da moça após o lançamento da pedra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação do momento angular e inércia rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o sistema inicial (carrossel + moça + pedra) está em repouso, então o momento angular total inicial é zero. Quando a moça joga a pedra, há uma transferência de momento angular. De acordo com a Lei de Conservação do Momento Angular, se não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total deve permanecer constante.
Passo 3
A pedra lançada tem uma massa $ m $ e velocidade $ v $, e ela é jogada de forma tangente à borda do carrossel. Isso significa que a pedra carrega um momento angular proporcional ao produto da sua massa, velocidade e o raio $ R $ do carrossel. O momento angular da pedra é dado por:
Passo 4
Como o momento angular total inicial era zero, o momento angular da moça e do carrossel após o lançamento da pedra deve compensar o momento angular da pedra para que a soma seja zero. Ou seja:
A inércia rotacional total do sistema moça + carrossel é a soma das inércias individuais. A moça, estando na borda, tem uma inércia $ M R^2 $, e o carrossel tem uma inércia $ I $. Então, a inércia total é $ I + M R^2 $.
Passo 5
A velocidade angular do sistema moça + carrossel após o lançamento da pedra pode ser encontrada relacionando o momento angular total com a velocidade angular $ \omega $:
Para encontrar a velocidade linear $ v_M $ da moça, usamos a relação entre velocidade linear e angular:
Resposta
A velocidade linear da moça após jogar a pedra é: