Uma bola de boliche sobe rolando, sem deslizar, em um plano inclinado de um ângulo
com a horizontal. Considere a bola uma esfera homogênea e ignore seus orifícios. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem velocidade de translação de
. (a) Que distância a esfera percorre, até ficar momentaneamente em repouso, ao subir o plano? (b) Quanto tempo decorre até que a esfera retorne à base do plano? © Explique por que a força de atrito deve possuir sentido para cima, ao longo do plano inclinado. Resp: (a)
; (b)
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos uma bola de boliche que está rolando sem deslizar em um plano inclinado de 30 graus em relação à horizontal. Nosso objetivo é descobrir (a) a distância que a bola percorre até parar momentaneamente subindo o plano e (b) o tempo que leva para a bola retornar à base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em planos inclinados e rotação sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola enquanto ela está subindo o plano. As principais forças são:
- Peso da bola (
): Age verticalmente para baixo. - Componente do peso ao longo do plano (
): Puxa a bola de volta para baixo do plano. - Força de atrito estático (
): Impede o deslize e permite a rotação da bola.
Como a bola está rolando sem deslizar, a força de atrito estático está agindo para cima ao longo do plano para contrabalançar a inclinação e permitir a rotação.
Passo 3
Para encontrar a distância (d) que a bola percorre até parar, precisamos determinar a aceleração (a) da bola enquanto ela sobe. Vamos usar a segunda lei de Newton para isso, tanto na direção linear quanto na rotação.
Passo 4
Movimento Linear:
A força resultante que atua na bola ao longo do plano é a componente do peso menos a força de atrito:
A força resultante que atua na bola ao longo do plano é a componente do peso menos a força de atrito:
Seguindo a segunda lei de Newton:
Movimento Rotacional:
A força de atrito também gera um torque que causa a rotação da bola. O torque ( ) é dado por:
A força de atrito também gera um torque que causa a rotação da bola. O torque (
Onde:
-
é o raio da bola. -
é o momento de inércia da bola. -
é a aceleração angular.
Para uma esfera homogênea:
E, como a bola não desliza:
Substituindo na equação do torque:
Voltando ao Movimento Linear:
Substituindo
na equação do movimento linear:
Passo 5
Agora que temos a aceleração, podemos encontrar a distância d usando a equação de movimento:
Como a bola para momentaneamente,
:
Substituindo
:
Passo 6
Para encontrar o tempo (t) até a bola retornar à base, observamos que o tempo para subir até parar é igual ao tempo para descer de volta. Vamos calcular o tempo de subida e depois dobrar para obter o tempo total.
Substituindo
:
Então, o tempo total:
Resposta
(a)
;
(b)
.