Uma bola de boliche sobe rolando, sem deslizar, em um plano inclinado de um ângulo beta=30^circ com a horizontal. Considere a bola uma esfera homogênea e ignore seus orifícios. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem velocidade de translação de 5,0 m / s. (a) Que distância a esfera percorre, até ficar momentaneamente em repouso, ao subir o plano? (b) Quanto tempo decorre até que a esfera retorne à base do plano? © Explique por que a força de atrito deve possuir sentido para cima, ao longo do plano inclinado. Resp: (a) d=3,57 m; (b) t=2,86 s.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos uma bola de boliche que está rolando sem deslizar em um plano inclinado de 30 graus em relação à horizontal. Nosso objetivo é descobrir (a) a distância que a bola percorre até parar momentaneamente subindo o plano e (b) o tempo que leva para a bola retornar à base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em planos inclinados e rotação sem deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola enquanto ela está subindo o plano. As principais forças são:
  1. Peso da bola ( mg): Age verticalmente para baixo.
  2. Componente do peso ao longo do plano ( mg sinbeta): Puxa a bola de volta para baixo do plano.
  3. Força de atrito estático ( Fatrito): Impede o deslize e permite a rotação da bola.
Como a bola está rolando sem deslizar, a força de atrito estático está agindo para cima ao longo do plano para contrabalançar a inclinação e permitir a rotação.

Passo 3

Para encontrar a distância (d) que a bola percorre até parar, precisamos determinar a aceleração (a) da bola enquanto ela sobe. Vamos usar a segunda lei de Newton para isso, tanto na direção linear quanto na rotação.

Passo 4

Movimento Linear:
A força resultante que atua na bola ao longo do plano é a componente do peso menos a força de atrito:
Fresu
Seguindo a segunda lei de Newton:
Fresu
Movimento Rotacional:
A força de atrito também gera um torque que causa a rotação da bola. O torque ( tau) é dado por:
tau = Fatrito cdot R = I alpha
Onde:
  • R é o raio da bola.
  • I é o momento de inércia da bola.
  • alpha é a aceleração angular.
Para uma esfera homogênea:
I = 25 m R^2
E, como a bola não desliza:
a = R alpha Rightarrow alpha = aR
Substituindo na equação do torque:
Fatrito cdot R = 25 m R^2 cdot aR Rightarrow Fatrito = 25 m a
Voltando ao Movimento Linear:
Substituindo Fatrito na equação do movimento linear:
m a = mg sinbeta - 25 m a Rightarrow a + 25 a = g sinbeta
75 a = g sinbeta Rightarrow a = 57 g sinbeta

Passo 5

Agora que temos a aceleração, podemos encontrar a distância d usando a equação de movimento:
v^2 = v0^2 + 2 a d
Como a bola para momentaneamente, v = 0:
0 = (5,0)^2 + 2 cdot (-a) cdot d Rightarrow d = (5,0)^22 a
Substituindo a = 57 g sin 30°:
d = 252 cdot 57 cdot g2 = 25 cdot 72 cdot 5 cdot 9,812 approx 3,57 , m

Passo 6

Para encontrar o tempo (t) até a bola retornar à base, observamos que o tempo para subir até parar é igual ao tempo para descer de volta. Vamos calcular o tempo de subida e depois dobrar para obter o tempo total.
v = v0 + a t Rightarrow 0 = 5,0 - a t Rightarrow tsubida = 5,0a
Substituindo a = 57 cdot 9,81 cdot sin 30° = 57 cdot 9,81 cdot 0,5:
tsubida approx 5,057 cdot 4,905 approx 1,43 , s
Então, o tempo total:
t = 2 cdot tsubida approx 2,86 , s

Resposta

(a) d = 3,57 , m;
(b) t = 2,86 , s.

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