Uma barra fina, de comprimento
e massa
, está suspensa e pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que passa por sua extremidade superior. Ela é deslocada lateralmente e, após abandonada, passa a oscilar em torno do eixo horizontal, passando por sua posição mais baixa com velocidade angular
. Qual a altura que o seu centro de massa atinge acima de sua posição mais baixa? Desprezar o atrito e a resistência do ar. Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra fininha de comprimento
e massa
que pode girar livremente em torno de um eixo horizontal na sua extremidade superior. Ela é puxada para o lado e, ao ser solta, começa a oscilar passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular
. Queremos descobrir quanta altura o centro de massa da barra alcança acima dessa posição mais baixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e cinemática rotacional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando a barra passa pela posição mais baixa, ela tem uma certa energia cinética devido à sua velocidade angular
. Quando ela sobe, essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional. Vamos usar o princípio da conservação de energia, que diz que a energia total no sistema permanece constante se não houver perdas, como atrito ou resistência do ar, que já estamos desprezando no problema.
Passo 3
A energia cinética rotacional da barra quando passa pela posição mais baixa é dada por:
Onde
é o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação. Para uma barra fina girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é:
Passo 4
Substituindo o valor de
na expressão da energia cinética:
Passo 5
Quando a barra sobe até uma altura
acima da posição mais baixa, toda a energia cinética inicial é transformada em energia potencial gravitacional:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
Pela conservação de energia, igualamos a energia cinética inicial à energia potencial no ponto mais alto:
Passo 7
Podemos cancelar a massa
de ambos os lados da equação:
Passo 8
Finalmente, isolamos
para encontrar a altura que o centro de massa atinge:
Resposta
A altura que o centro de massa atinge acima da posição mais baixa é
.