Uma barra fina, de comprimento l e massa m, está suspensa e pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que passa por sua extremidade superior. Ela é deslocada lateralmente e, após abandonada, passa a oscilar em torno do eixo horizontal, passando por sua posição mais baixa com velocidade angular omega. Qual a altura que o seu centro de massa atinge acima de sua posição mais baixa? Desprezar o atrito e a resistência do ar. Resp: h=l^2 omega^2 / 6 g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra fininha de comprimento  l e massa  m que pode girar livremente em torno de um eixo horizontal na sua extremidade superior. Ela é puxada para o lado e, ao ser solta, começa a oscilar passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular  omega. Queremos descobrir quanta altura o centro de massa da barra alcança acima dessa posição mais baixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e cinemática rotacional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando a barra passa pela posição mais baixa, ela tem uma certa energia cinética devido à sua velocidade angular  omega. Quando ela sobe, essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional. Vamos usar o princípio da conservação de energia, que diz que a energia total no sistema permanece constante se não houver perdas, como atrito ou resistência do ar, que já estamos desprezando no problema.

Passo 3

A energia cinética rotacional da barra quando passa pela posição mais baixa é dada por:
Ecin = 12 I omega^2
Onde  I é o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação. Para uma barra fina girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é:
I = 13 m l^2

Passo 4

Substituindo o valor de  I na expressão da energia cinética:
Ecin = 12 ( 13 m l^2 ) omega^2 = 16 m l^2 omega^2

Passo 5

Quando a barra sobe até uma altura  h acima da posição mais baixa, toda a energia cinética inicial é transformada em energia potencial gravitacional:
Epot = m g h
Onde  g é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Pela conservação de energia, igualamos a energia cinética inicial à energia potencial no ponto mais alto:
16 m l^2 omega^2 = m g h

Passo 7

Podemos cancelar a massa  m de ambos os lados da equação:
16 l^2 omega^2 = g h

Passo 8

Finalmente, isolamos  h para encontrar a altura que o centro de massa atinge:
h = l^2 omega^26 g

Resposta

A altura que o centro de massa atinge acima da posição mais baixa é  h = dfracl^2 omega^26 g.

Exercícios relacionados