Modelo Binomial Um teste de múltipla escolha contém 10 questões, cada uma com 4 alternativas, sendo apenas uma correta. Suponha que um aluno escolha as respostas de forma aleatória.
Qual a probabilidade de ele acertar pelo menos 1 questão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de múltipla escolha com 10 questões. Cada questão tem 4 opções, mas só uma está correta. A gente quer saber qual a probabilidade de o aluno acertar pelo menos uma dessas questões se ele escolher as respostas de forma aleatória. Vamos usar a Probabilidade Binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que a gente precisa:
  • Número de tentativas (n): São 10 questões.
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: Como só uma opção está correta entre 4, a probabilidade de acertar uma questão é $ p = \frac{1}{4} = 0,25 $.

Passo 3

A gente quer a probabilidade de pelo menos um acerto. Em vez de calcular a probabilidade de acertar 1, 2, …, até 10 questões e somar tudo, é mais fácil calcular a probabilidade do evento contrário, que é não acertar nenhuma questão, e depois subtrair esse valor de 1.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de não acertar nenhuma das 10 questões. Usamos a fórmula da probabilidade binomial para $ k = 0 $ acertos:
k = 0
Simplificando:
P(0) = binom100 times (0,25)^0 times (0,75)^10
Calculando $ (0,75)^{10} $:
P(0) = 1 times 1 times (0,75)^10
Então:
(0,75)^10

Passo 5

Agora, a probabilidade de acertar pelo menos uma questão é:
P(pelo menos 1) = 1 - P(0) = 1 - 0,0563 = 0,9437
Convertendo para porcentagem:
0,9437 times 100 approx 94,37%

Resposta

A probabilidade de o aluno acertar pelo menos 1 questão é de aproximadamente 94,37%.

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