Modelo Binomial Um teste de múltipla escolha contém 10 questões, cada uma com 4 alternativas, sendo apenas uma correta. Suponha que um aluno escolha as respostas de forma aleatória.
Qual a probabilidade de ele acertar pelo menos 1 questão?
Qual a probabilidade de ele acertar pelo menos 1 questão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de múltipla escolha com 10 questões. Cada questão tem 4 opções, mas só uma está correta. A gente quer saber qual a probabilidade de o aluno acertar pelo menos uma dessas questões se ele escolher as respostas de forma aleatória. Vamos usar a Probabilidade Binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos que a gente precisa:
- Número de tentativas (n): São 10 questões.
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: Como só uma opção está correta entre 4, a probabilidade de acertar uma questão é $ p = \frac{1}{4} = 0,25 $.
Passo 3
A gente quer a probabilidade de pelo menos um acerto. Em vez de calcular a probabilidade de acertar 1, 2, …, até 10 questões e somar tudo, é mais fácil calcular a probabilidade do evento contrário, que é não acertar nenhuma questão, e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de não acertar nenhuma das 10 questões. Usamos a fórmula da probabilidade binomial para $ k = 0 $ acertos:
Simplificando:
Calculando $ (0,75)^{10} $:
Então:
Passo 5
Agora, a probabilidade de acertar pelo menos uma questão é:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A probabilidade de o aluno acertar pelo menos 1 questão é de aproximadamente 94,37%.