No modelo clássico de J. J. Thomson para o a átomo de hidrogênio, a carga
do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio
da ordem de
(raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme
movendo-se no interior dessa distribuição.
(a) Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância
do centro da esfera.
(b) Mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples.
© Calcule a frequência de oscilação e comparea com uma frequência típica da luz visível.
(a) Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância
(b) Mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples.
© Calcule a frequência de oscilação e comparea com uma frequência típica da luz visível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo clássico do átomo de hidrogênio proposto por J.J. Thomson. A gente vai precisar entender conceitos de campo elétrico, força elétrica e movimento harmônico simples. Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, verificar se o elétron pode se mover de forma harmônica e, por fim, descobrir a frequência dessa oscilação comparando com a luz visível.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico que atua sobre o elétron quando ele está a uma distância $ r < a $ do centro da esfera. Segundo a lei de Gauss, para uma carga distribuída uniformemente em uma esfera, o campo elétrico dentro da esfera é proporcional à distância $ r $.
Passo 3
A carga total do núcleo é $ +e $ distribuída uniformemente na esfera de raio $ a $. A densidade de carga $ \rho $ é dada por:
Passo 4
Usando a lei de Gauss, o campo elétrico $ E $ dentro da esfera a uma distância $ r $ do centro é:
Substituindo $ \rho $:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que o movimento do elétron é harmônico simples. A força elétrica que atua no elétron é:
Essa força é proporcional a $ -r $, caracterizando um movimento harmônico com constante elástica $ k = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 a^3} $.
Passo 6
Para encontrar a frequência de oscilação, usamos a fórmula do movimento harmônico:
Substituindo $ k $:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
- Carga do elétron: $ e = 1,6 \times 10^{-19} $ C
- Constante de Coulomb: $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)
- Massa do elétron: $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg
- Raio atômico: $ a = 10^{-8} $ cm = $ 10^{-10} $ m
Substituindo na equação de $ f $:
Passo 8
Fazendo os cálculos, encontramos:
Comparando com a frequência da luz visível, que está na faixa de $ 10^{14} $ Hz, percebemos que a frequência de oscilação do elétron é da mesma ordem de grandeza da luz visível.
Resposta
A frequência de oscilação do elétron é aproximadamente $ 10^{15} $ Hz, que está na mesma ordem de grandeza das frequências típicas da luz visível.