No modelo clássico de J. J. Thomson para o a átomo de hidrogênio, a carga +e do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio a da ordem de 10^-8 cm (raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme -e movendo-se no interior dessa distribuição.
(a) Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância r do centro da esfera.
(b) Mostre que o elétron poderia mover-se radialmente com um movimento harmônico simples.
© Calcule a frequência de oscilação e comparea com uma frequência típica da luz visível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo clássico do átomo de hidrogênio proposto por J.J. Thomson. A gente vai precisar entender conceitos de campo elétrico, força elétrica e movimento harmônico simples. Vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, verificar se o elétron pode se mover de forma harmônica e, por fim, descobrir a frequência dessa oscilação comparando com a luz visível.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico que atua sobre o elétron quando ele está a uma distância $ r < a $ do centro da esfera. Segundo a lei de Gauss, para uma carga distribuída uniformemente em uma esfera, o campo elétrico dentro da esfera é proporcional à distância $ r $.

Passo 3

A carga total do núcleo é $ +e $ distribuída uniformemente na esfera de raio $ a $. A densidade de carga $ \rho $ é dada por:
+e

Passo 4

Usando a lei de Gauss, o campo elétrico $ E $ dentro da esfera a uma distância $ r $ do centro é:
E
Substituindo $ \rho $:
r

Passo 5

Agora, vamos mostrar que o movimento do elétron é harmônico simples. A força elétrica que atua no elétron é:
F = -eE = -e cdot e cdot r4pi varepsilon0 a^3 = -e^24pi varepsilon0 a^3 r
Essa força é proporcional a $ -r $, caracterizando um movimento harmônico com constante elástica $ k = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 a^3} $.

Passo 6

Para encontrar a frequência de oscilação, usamos a fórmula do movimento harmônico:
f = 12pi raizkm
Substituindo $ k $:
k

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
  • Carga do elétron: $ e = 1,6 \times 10^{-19} $ C
  • Constante de Coulomb: $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)
  • Massa do elétron: $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg
  • Raio atômico: $ a = 10^{-8} $ cm = $ 10^{-10} $ m
Substituindo na equação de $ f $:
e = 1,6 times 10^-19

Passo 8

Fazendo os cálculos, encontramos:
f approx 10^15 Hz
Comparando com a frequência da luz visível, que está na faixa de $ 10^{14} $ Hz, percebemos que a frequência de oscilação do elétron é da mesma ordem de grandeza da luz visível.

Resposta

A frequência de oscilação do elétron é aproximadamente $ 10^{15} $ Hz, que está na mesma ordem de grandeza das frequências típicas da luz visível.

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