Uma esfera de raio R está uniformemente carregada, com carga total q.
(a) Determine o potencial V em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de V em função da distância ao centro.
(b) Tomando q=-e, com uma carga puntiforme +e no centro da esfera, como modelo para o átomo de hidrogênio, qual é a expressão do potencial, nesse caso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio R que está carregada de maneira uniforme, com uma carga total q. O que a gente precisa fazer é calcular o potencial elétrico V em dois lugares diferentes: dentro da esfera e fora dela. Além disso, temos uma segunda parte onde vamos usar essas informações para modelar o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender de conceitos de eletrostática, especialmente o potencial elétrico devido a distribuições de carga. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial elétrico. Ele nos diz quanta energia potencial um ponto no espaço tem devido à presença de cargas elétricas. Para distribuições de carga simétricas, como uma esfera uniformemente carregada, podemos usar a simetria para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas partes: calcular o potencial interno à esfera (quando a distância r do centro é menor que R) e o potencial externo à esfera (quando r é maior ou igual a R).

Passo 4

Potencial Externo ( r >= R):
Quando estamos fora da esfera, podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera, graças ao teorema de Gauss para simetrias esféricas. O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot qr
Onde:
  • V(r) é o potencial em uma distância r do centro,
  • q é a carga total,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Potencial Interno ( r < R):
Dentro da esfera, a distribuição de carga afeta o potencial. A carga que contribui para o potencial em um ponto dentro é apenas aquela que está a uma distância menor que r (devido à simetria esférica). A densidade de carga rho é constante e igual a:
rho = q43pi R^3
A carga interna até o raio r é:
qinterno = rho cdot 43pi r^3 = q cdot (rR)^3
Então, o potencial interno é:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot qinternor = 14pivarepsilon0 cdot q (rR)^3r = 14pivarepsilon0 cdot q r^2R^3

Passo 6

Agora, resumindo as expressões:
  • Para r >= R:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot qr
  • Para r < R:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot q r^22 R^3 + constante
Mas, para garantir a continuidade do potencial na superfície ( r = R), ajustamos a constante e a expressão final fica:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot q2R (3 - r^2R^2) para r < R

Passo 7

Gráfico do Potencial V em função da distância r ao centro:
  • Para r >= R, V(r) decresce proporcionalmente a 1/r.
  • Para r < R, V(r) é um polinômio de segundo grau, atingindo um máximo na superfície.
O gráfico seria uma curva suave que diminui com o aumento de r, mas dentro da esfera, a inclinação muda conforme a expressão quadrática.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos:
  • A carga total q = -e (elétron).
  • Uma carga puntiforme +e no centro da esfera (próton).
Queremos modelar o potencial elétrico nesse caso.

Passo 9

Nesse modelo, temos duas contribuições para o potencial:
  1. Do próton no centro: como é uma carga pontual +e, o potencial é:
Vpróton(r) = 14pivarepsilon0 cdot er ó
  1. Da esfera carregada com -e: usamos as expressões que já encontramos anteriormente, mas com q = -e.
  • Para r >= R:
Vesfera(r) = 14pivarepsilon0 cdot -er
  • Para r < R:
Vesfera(r) = 14pivarepsilon0 cdot -e2R (3 - r^2R^2)

Passo 10

O potencial total Vtotal(r) é a soma das duas contribuições:
  • Para r >= R:
Vtotal(r) = 14pivarepsilon0 ( er - er ) = 0
  • Para r < R:
Vtotal(r) = 14pivarepsilon0 cdot er + 14pivarepsilon0 cdot -e2R (3 - r^2R^2)
Simplificando:
Vtotal(r) = e4pivarepsilon0 ( 1r - 32R + r^22R^3 )

Resposta

(a) O potencial elétrico V em função da distância r ao centro da esfera é dado por:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot q2R (3 - r^2R^2), & para r < R 14pivarepsilon0 cdot qr, & para r >= R
(b) Considerando q = -e e uma carga +e no centro da esfera, o potencial total Vtotal(r) é:
Vtotal(r) = e4pivarepsilon0 ( 1r - 32R + r^22R^3 ), & para r < R 0, & para r >= R

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