Uma esfera de raio está uniformemente carregada, com carga total .
(a) Determine o potencial em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de em função da distância ao centro.
(b) Tomando , com uma carga puntiforme no centro da esfera, como modelo para o átomo de hidrogênio, qual é a expressão do potencial, nesse caso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio que está carregada de maneira uniforme, com uma carga total . O que a gente precisa fazer é calcular o potencial elétrico em dois lugares diferentes: dentro da esfera e fora dela. Além disso, temos uma segunda parte onde vamos usar essas informações para modelar o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender de conceitos de eletrostática, especialmente o potencial elétrico devido a distribuições de carga. Vamos com calma, passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial elétrico. Ele nos diz quanta energia potencial um ponto no espaço tem devido à presença de cargas elétricas. Para distribuições de carga simétricas, como uma esfera uniformemente carregada, podemos usar a simetria para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas partes: calcular o potencial interno à esfera (quando a distância do centro é menor que ) e o potencial externo à esfera (quando é maior ou igual a ).
Passo 4
Potencial Externo ():
Quando estamos fora da esfera, podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera, graças ao teorema de Gauss para simetrias esféricas. O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
Onde:
é o potencial em uma distância do centro,
é a carga total,
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Potencial Interno ():
Dentro da esfera, a distribuição de carga afeta o potencial. A carga que contribui para o potencial em um ponto dentro é apenas aquela que está a uma distância menor que (devido à simetria esférica). A densidade de carga é constante e igual a:
A carga interna até o raio é:
Então, o potencial interno é:
Passo 6
Agora, resumindo as expressões:
Para :
Para :
Mas, para garantir a continuidade do potencial na superfície (), ajustamos a constante e a expressão final fica:
Passo 7
Gráfico do Potencial em função da distância ao centro:
Para , decresce proporcionalmente a .
Para , é um polinômio de segundo grau, atingindo um máximo na superfície.
O gráfico seria uma curva suave que diminui com o aumento de , mas dentro da esfera, a inclinação muda conforme a expressão quadrática.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos:
A carga total (elétron).
Uma carga puntiforme no centro da esfera (próton).
Queremos modelar o potencial elétrico nesse caso.
Passo 9
Nesse modelo, temos duas contribuições para o potencial:
Do próton no centro: como é uma carga pontual , o potencial é:
Da esfera carregada com : usamos as expressões que já encontramos anteriormente, mas com .
Para :
Para :
Passo 10
O potencial total é a soma das duas contribuições:
Para :
Para :
Simplificando:
Resposta
(a) O potencial elétrico em função da distância ao centro da esfera é dado por:
(b) Considerando q = -e e uma carga +e no centro da esfera, o potencial total Vtotal(r) é:
Vtotal(r) = e4pivarepsilon0 ( 1r - 32R + r^22R^3 ), & para r < R 0, & para r >= R