Calcule a energia potencial de interação entre dois dipolos p1 e p2, sendo r o vetor de posição de p2 em relação a p1 (com |r| muito maior que as dimensões dos dipolos).
(a) Obtenha o resultado geral.
(b) Particularize para dipolos alinhados com r, paralelos ou antiparalelos.
© Particularize para dipolos perpendiculares a r, paralelos ou antiparalelos. Qual das quatro situações em (b) e © é energeticamente favorecida?
(d) Nesse caso mais favorecido, calcule a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água à distância de 5 AA uma da outra, e compare-a com a energia térmica k T à temperatura ambiente. O momento de dipolo elétrico permanente de uma molécula de água é de 6,2 times 10^-30 C cdot m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia potencial de interação entre dipolos elétricos. A gente vai trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente sobre como dipolos elétricos interagem quando estão próximos. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que descrevem a energia de interação entre dipolos e entender as diferentes orientações que eles podem ter em relação ao vetor posição entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo é composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância. O momento dipolar p é dado por p = q cdot d, onde q é a carga e d é o vetor deslocamento entre as cargas.
A energia potencial de interação U entre dois dipolos p1 e p2 separados pelo vetor r é dada pela fórmula:
U = 14piepsilon0 [ p1 cdot p2r^3 - 3(p1 cdot r)(p2 cdot r)r^5 ]
Aqui, epsilon0 é a permissividade do vácuo e r = |r| é a distância entre os dipolos.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a) do exercício: obter o resultado geral. Já escrevemos a fórmula geral da energia potencial de interação entre dois dipolos. Então, a resposta para a parte (a) é justamente essa expressão que acabamos de escrever.

Passo 4

Na parte (b), precisamos particularizar para dipolos alinhados com r, tanto paralelos quanto antiparalelos. Quando os dipolos estão alinhados com o vetor posição, isso significa que os ângulos entre p1, p2 e r são zero ou 180 graus.
Se os dipolos são paralelos (ambos na mesma direção de r), então:
p1 cdot p2 = p1 p2
p1 cdot r = p1 r
p2 cdot r = p2 r
Substituindo na fórmula geral:
U = 14piepsilon0 [ p1 p2r^3 - 3 p1 r cdot p2 rr^5 ] = 14piepsilon0 [ p1 p2r^3 - 3 p1 p2r^3 ] = -2 p1 p24piepsilon0 r^3
Se os dipolos são antiparalelos (um na direção de r e o outro na direção oposta):
p1 cdot p2 = -p1 p2
p1 cdot r = p1 r
p2 cdot r = -p2 r
Substituindo:
U = 14piepsilon0 [ -p1 p2r^3 - 3 p1 r cdot (-p2 r)r^5 ] = 14piepsilon0 [ -p1 p2r^3 + 3 p1 p2r^3 ] = 2 p1 p24piepsilon0 r^3

Passo 5

Agora, na parte ©, vamos considerar dipolos perpendiculares a r, tanto paralelos quanto antiparalelos. Nesse caso, os dipolos estão no plano perpendicular ao vetor posição.
Se os dipolos são paralelos e perpendiculares a r:
p1 cdot p2 = p1 p2
p1 cdot r = 0
p2 cdot r = 0
Substituindo na fórmula:
U = 14piepsilon0 [ p1 p2r^3 - 0 ] = p1 p24piepsilon0 r^3
Se os dipolos são antiparalelos e perpendiculares a r:
p1 cdot p2 = -p1 p2
p1 cdot r = 0
p2 cdot r = 0
Substituindo:
U = 14piepsilon0 [ -p1 p2r^3 - 0 ] = -p1 p24piepsilon0 r^3
Comparando as quatro situações:
  1. Paralelos alinhados: energia negativa (atraente)
  2. Antiparalelos alinhados: energia positiva (repulsiva)
  3. Paralelos perpendiculares: energia positiva (repulsiva)
  4. Antiparalelos perpendiculares: energia negativa (atraente)
As situações energeticamente favorecidas são aquelas com energia negativa, ou seja, dipolos paralelos alinhados e dipolos antiparalelos perpendiculares.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (d). A situação mais favorecida energeticamente é aquela com menor energia, que no nosso caso são os dipolos antiparalelos perpendiculares com energia negativa.
Vamos calcular a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água a uma distância de 5 ÅÅ (que é 5 times 10^-10 m).
Dados:
  • Momento dipolar elétrico permanente de uma molécula de água: 6,2 times 10^-30 C cdot m
  • Constante de Coulomb: k = 14piepsilon0 = 8,988 times 10^9 N cdot m^2/C^2
  • Temperatura ambiente: aproximadamente T = 300 K
  • Energia térmica: kB T, onde kB = 1,38 times 10^-23 J/K
Usando a fórmula para a situação antiparalela perpendicular:
U = -p1 p24piepsilon0 r^3 = -k p^2r^3
Substituindo os valores:
U = -8,988 times 10^9 N cdot m^2/C^2 times (6,2 times 10^-30 C cdot m)^2(5 times 10^-10 m)^3
Calculando passo a passo:
  1. p^2 = (6,2 times 10^-30)^2 = 3,844 times 10^-59 C^2 cdot m^2
  2. r^3 = (5 times 10^-10)^3 = 1,25 times 10^-28 m^3
  3. U = -8,988 times 10^9 times 3,844 times 10^-591,25 times 10^-28 = -3,454 times 10^-491,25 times 10^-28 = -2,763 times 10^-21 J
Agora, comparando com a energia térmica kB T:
kB T = 1,38 times 10^-23 J/K times 300 K = 4,14 times 10^-21 J
Então, a energia de interação dipolar |U| approx 2,76 times 10^-21 J é da mesma ordem de grandeza que a energia térmica kB T approx 4,14 times 10^-21 J.

Resposta

A energia de interação dipolar entre duas moléculas de água a 5 ÅÅ de distância é aproximadamente -2,76 times 10^-21 J, a qual está na mesma ordem de grandeza que a energia térmica kB T à temperatura ambiente.

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