Calcule a energia potencial de interação entre dois dipolos
e
, sendo
o vetor de posição de
em relação a
(com
muito maior que as dimensões dos dipolos).
(a) Obtenha o resultado geral.
(b) Particularize para dipolos alinhados com
, paralelos ou antiparalelos.
© Particularize para dipolos perpendiculares a
, paralelos ou antiparalelos. Qual das quatro situações em (b) e © é energeticamente favorecida?
(d) Nesse caso mais favorecido, calcule a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água à distância de
uma da outra, e compare-a com a energia térmica
à temperatura ambiente. O momento de dipolo elétrico permanente de uma molécula de água é de
.
(a) Obtenha o resultado geral.
(b) Particularize para dipolos alinhados com
© Particularize para dipolos perpendiculares a
(d) Nesse caso mais favorecido, calcule a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água à distância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia potencial de interação entre dipolos elétricos. A gente vai trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente sobre como dipolos elétricos interagem quando estão próximos. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que descrevem a energia de interação entre dipolos e entender as diferentes orientações que eles podem ter em relação ao vetor posição entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo é composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância. O momento dipolar
é dado por
, onde
é a carga e
é o vetor deslocamento entre as cargas.
A energia potencial de interação
entre dois dipolos
e
separados pelo vetor
é dada pela fórmula:
Aqui,
é a permissividade do vácuo e
é a distância entre os dipolos.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a) do exercício: obter o resultado geral. Já escrevemos a fórmula geral da energia potencial de interação entre dois dipolos. Então, a resposta para a parte (a) é justamente essa expressão que acabamos de escrever.
Passo 4
Na parte (b), precisamos particularizar para dipolos alinhados com
, tanto paralelos quanto antiparalelos. Quando os dipolos estão alinhados com o vetor posição, isso significa que os ângulos entre
,
e
são zero ou 180 graus.
Se os dipolos são paralelos (ambos na mesma direção de
), então:
Substituindo na fórmula geral:
Se os dipolos são antiparalelos (um na direção de
e o outro na direção oposta):
Substituindo:
Passo 5
Agora, na parte ©, vamos considerar dipolos perpendiculares a
, tanto paralelos quanto antiparalelos. Nesse caso, os dipolos estão no plano perpendicular ao vetor posição.
Se os dipolos são paralelos e perpendiculares a
:
Substituindo na fórmula:
Se os dipolos são antiparalelos e perpendiculares a
:
Substituindo:
Comparando as quatro situações:
- Paralelos alinhados: energia negativa (atraente)
- Antiparalelos alinhados: energia positiva (repulsiva)
- Paralelos perpendiculares: energia positiva (repulsiva)
- Antiparalelos perpendiculares: energia negativa (atraente)
As situações energeticamente favorecidas são aquelas com energia negativa, ou seja, dipolos paralelos alinhados e dipolos antiparalelos perpendiculares.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (d). A situação mais favorecida energeticamente é aquela com menor energia, que no nosso caso são os dipolos antiparalelos perpendiculares com energia negativa.
Vamos calcular a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água a uma distância de
(que é
).
Dados:
- Momento dipolar elétrico permanente de uma molécula de água:
- Constante de Coulomb:
- Temperatura ambiente: aproximadamente
- Energia térmica:
, onde
Usando a fórmula para a situação antiparalela perpendicular:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Agora, comparando com a energia térmica
:
Então, a energia de interação dipolar
é da mesma ordem de grandeza que a energia térmica
.
Resposta
A energia de interação dipolar entre duas moléculas de água a
de distância é aproximadamente
, a qual está na mesma ordem de grandeza que a energia térmica
à temperatura ambiente.