Se (X1, X2) tem função de densidade igual a f(x1, x2)=exp -(x1+x2) se x1>0 e x2>0, verifique se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos duas variáveis aleatórias, f(x1, x2) = e^-(x1 + x2) para x1 > 0 e x2 > 0 e , com uma função de densidade conjunta dada por:
O objetivo aqui é descobrir se e são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência entre variáveis aleatórias e como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis fX,Y(x, y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes se a função de densidade conjunta deles for igual ao produto das suas funções de densidade marginais, ou seja:
Então, para verificar a independência de e , precisamos encontrar as funções de densidade marginais e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função de densidade marginal de fX1(x1) = integral0^infty f(x1, x2) , dx2 = integral0^infty e^-(x1 + x2) , dx2 . Isso significa que vamos “eliminar” fX1(x1) = e^-x1 integral0^infty e^-x2 , dx2 = e^-x1 [ -e^-x2 ]0^infty = e^-x1 (0 - (-1)) = e^-x1 integrando a função de densidade conjunta em relação a fX1(x1) = e^-x1 para x1 > 0 :
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de fX2(x2) = integral0^infty f(x1, x2) , dx1 = integral0^infty e^-(x1 + x2) , dx1 , fazendo o mesmo processo:
fX2(x2) = e^-x2 integral0^infty e^-x1 , dx1 = e^-x2 [ -e^-x1 ]0^infty = e^-x2 (0 - (-1)) = e^-x2
Resolvendo a integral:
fX2(x2) = e^-x2 para x2 > 0
Então, a função de densidade marginal de é:

Passo 5

Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função de densidade conjunta é igual ao produto das funções marginais:
fX1, X2(x1, x2) = e^-(x1 + x2) = e^-x1 cdot e^-x2 = fX1(x1) cdot fX2(x2)
Como a igualdade está satisfeita para todo e , podemos concluir que as variáveis e são independentes.

Resposta

As variáveis aleatórias e são independentes.

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