Se
tem função de densidade igual a
se
e
, verifique se
e
são variáveis aleatórias independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função de densidade conjunta dada por:
O objetivo aqui é descobrir se
e
são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência entre variáveis aleatórias e como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis
e
são independentes se a função de densidade conjunta deles for igual ao produto das suas funções de densidade marginais, ou seja:
Então, para verificar a independência de
e
, precisamos encontrar as funções de densidade marginais
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a função de densidade marginal de
. Isso significa que vamos “eliminar”
integrando a função de densidade conjunta em relação a
:
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de
, fazendo o mesmo processo:
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de
é:
Passo 5
Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função de densidade conjunta é igual ao produto das funções marginais:
Como a igualdade está satisfeita para todo
e
, podemos concluir que as variáveis
e
são independentes.
Resposta
As variáveis aleatórias
e
são independentes.
Exercícios relacionados
A respeito do desenvolvimento do binômio
, podemos afirmar corretamente que:
a) A soma dos seus coeficientes é 81 .
b) Existe um termo que o grau de é -6 .
c) O termo independente é igual a 10.
d) Não existe termo independente.
e) O maior grau de é 4 .
a) A soma dos seus coeficientes é 81 .
b) Existe um termo que o grau de
c) O termo independente é igual a 10.
d) Não existe termo independente.
e) O maior grau de
A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional
é dada por:
Determine:
c)
c)
Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias:
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.
Cálculo do Índice de Lucratividade (IL)
Uma usina solar fotovoltaica de 1 MW em Santarém tem uma produção anual estimada de 1.500 MWh e uma tarifa média de venda de energia de . O investimento inicial para a instalação da usina foi de
. Após o primeiro ano de operação, a produção anual foi
menor do que a estimada, devido a fatores climáticos.
Calcule a receita anual esperada da usina sem a redução de produção.
Uma usina solar fotovoltaica de 1 MW em Santarém tem uma produção anual estimada de 1.500 MWh e uma tarifa média de venda de energia de
Calcule a receita anual esperada da usina sem a redução de produção.