Se
tem função de densidade igual a
se
e
, verifique se
e
são variáveis aleatórias independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função de densidade conjunta dada por:
O objetivo aqui é descobrir se
e
são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência entre variáveis aleatórias e como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis
e
são independentes se a função de densidade conjunta deles for igual ao produto das suas funções de densidade marginais, ou seja:
Então, para verificar a independência de
e
, precisamos encontrar as funções de densidade marginais
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a função de densidade marginal de
. Isso significa que vamos “eliminar”
integrando a função de densidade conjunta em relação a
:
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de
, fazendo o mesmo processo:
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de
é:
Passo 5
Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função de densidade conjunta é igual ao produto das funções marginais:
Como a igualdade está satisfeita para todo
e
, podemos concluir que as variáveis
e
são independentes.
Resposta
As variáveis aleatórias
e
são independentes.