Se tem função de densidade igual a se e , verifique se e são variáveis aleatórias independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos duas variáveis aleatórias, e , com uma função de densidade conjunta dada por:
O objetivo aqui é descobrir se e são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência entre variáveis aleatórias e como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis e são independentes se a função de densidade conjunta deles for igual ao produto das suas funções de densidade marginais, ou seja:
Então, para verificar a independência de e , precisamos encontrar as funções de densidade marginais e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função de densidade marginal de . Isso significa que vamos “eliminar” integrando a função de densidade conjunta em relação a :
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de , fazendo o mesmo processo:
Resolvendo a integral:
Então, a função de densidade marginal de é:

Passo 5

Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função de densidade conjunta é igual ao produto das funções marginais:
Como a igualdade está satisfeita para todo e , podemos concluir que as variáveis e são independentes.

Resposta

As variáveis aleatórias e são independentes.

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Determine:
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