A respeito do desenvolvimento do binômio , podemos afirmar corretamente que:
a) A soma dos seus coeficientes é 81 .
b) Existe um termo que o grau de é -6 .
c) O termo independente é igual a 10.
d) Não existe termo independente.
e) O maior grau de é 4 .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A questão nos pede para avaliar qual das afirmações sobre o desenvolvimento do binômio está correta. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões dessa forma. Vamos precisar entender como calcular os coeficientes, os graus dos termos e identificar termos independentes na expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema do Binômio de Newton, que diz que:
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras diferentes podemos escolher elementos entre .
No nosso caso, , e . Então, a expansão será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o grau de em cada termo da expansão. O grau de em cada termo é dado por:
Isso significa que, para cada valor de de 0 a 5, podemos encontrar o grau de correspondente.

Passo 4

Vamos analisar cada afirmação:
a) A soma dos seus coeficientes é 81.
A soma dos coeficientes ocorre quando substituímos na expressão expandida:
Então, a soma dos coeficientes é 243, não 81. Esta afirmação está incorreta.

Passo 5

b) Existe um termo que o grau de é -6.
Usando a fórmula do grau que encontramos:
Como deve ser um número inteiro entre 0 e 5, não existe um termo com grau -6. Esta afirmação está incorreta.

Passo 6

c) O termo independente é igual a 10.
O termo independente (sem ) ocorre quando o grau de é 0:
Como precisa ser inteiro, não há termo independente na expansão. Esta afirmação está incorreta.

Passo 7

d) Não existe termo independente.
Conforme vimos no passo anterior, não existe um valor inteiro de que torne o grau de igual a 0. Portanto, esta afirmação está correta.

Passo 8

e) O maior grau de é 4.
Para encontrar o maior grau, observamos quando :
Então, o maior grau de na expansão é 5, não 4. Esta afirmação está incorreta.

Resposta

A única afirmação correta é a d) Não existe termo independente.

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