A respeito do desenvolvimento do binômio
, podemos afirmar corretamente que:
a) A soma dos seus coeficientes é 81 .
b) Existe um termo que o grau de
é -6 .
c) O termo independente é igual a 10.
d) Não existe termo independente.
e) O maior grau de
é 4 .
a) A soma dos seus coeficientes é 81 .
b) Existe um termo que o grau de
c) O termo independente é igual a 10.
d) Não existe termo independente.
e) O maior grau de
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A questão nos pede para avaliar qual das afirmações sobre o desenvolvimento do binômio
está correta. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões dessa forma. Vamos precisar entender como calcular os coeficientes, os graus dos termos e identificar termos independentes na expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema do Binômio de Newton, que diz que:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras diferentes podemos escolher
elementos entre
.
No nosso caso,
,
e
. Então, a expansão será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o grau de
em cada termo da expansão. O grau de
em cada termo é dado por:
Isso significa que, para cada valor de
de 0 a 5, podemos encontrar o grau de
correspondente.
Passo 4
Vamos analisar cada afirmação:
a) A soma dos seus coeficientes é 81.
A soma dos coeficientes ocorre quando substituímos
na expressão expandida:
Então, a soma dos coeficientes é 243, não 81. Esta afirmação está incorreta.
Passo 5
b) Existe um termo que o grau de
é -6.
Usando a fórmula do grau que encontramos:
Como
deve ser um número inteiro entre 0 e 5, não existe um termo com grau -6. Esta afirmação está incorreta.
Passo 6
c) O termo independente é igual a 10.
O termo independente (sem
) ocorre quando o grau de
é 0:
Como
precisa ser inteiro, não há termo independente na expansão. Esta afirmação está incorreta.
Passo 7
d) Não existe termo independente.
Conforme vimos no passo anterior, não existe um valor inteiro de
que torne o grau de
igual a 0. Portanto, esta afirmação está correta.
Passo 8
e) O maior grau de
é 4.
Para encontrar o maior grau, observamos quando
:
Então, o maior grau de
na expansão é 5, não 4. Esta afirmação está incorreta.
Resposta
A única afirmação correta é a d) Não existe termo independente.
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