Um mol de um gás ideal monoatômico é expandido reversivelmente e adiabaticamente de 1 litro a 10 litros, começando na temperatura de 300 K . Calcule o trabalho mecânico?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um mol de um gás ideal monoatômico que está passando por uma expansão reversível e adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. O gás expande de 1 litro para 10 litros, começando com uma temperatura de 300 K. Precisamos calcular o trabalho mecânico realizado nesse processo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica relacionados a processos adiabáticos e as leis dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo adiabático reversível para um gás ideal. Em um processo adiabático, não há transferência de calor (Q = 0). Além disso, para um processo reversível, a transformação ocorre de forma lenta e controlada, permitindo que o sistema esteja em equilíbrio termodinâmico em todos os momentos. Para gases monoatômicos, a razão dos calores específicos (γ) é igual a 5/3.
Passo 3
Em um processo adiabático, a relação entre pressão § e volume (V) é dada por:
Onde γ é a razão dos calores específicos. Também, sabemos que para um gás ideal, $ PV = nRT $, onde n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura.
Passo 4
Para calcular o trabalho realizado em um processo adiabático reversível, a fórmula é:
Mas, como não temos a pressão final (P₂), podemos usar outra abordagem envolvendo as temperaturas inicial e final. Sabemos que:
Podemos encontrar a temperatura final (T₂) após a expansão usando essa relação.
Passo 5
Vamos calcular a temperatura final (T₂):
Isolando T₂:
Substituindo os valores:
Agora, vamos usar a fórmula do trabalho:
Para um gás monoatômico, $ C_v = \frac{3}{2} R $. Então:
Resposta
O trabalho mecânico realizado na expansão adiabática reversível é de aproximadamente 2.947 J.