Um mol de um gás ideal monoatômico é expandido reversivelmente e adiabaticamente de 1 litro a 10 litros, começando na temperatura de 300 K . Calcule o trabalho mecânico?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um mol de um gás ideal monoatômico que está passando por uma expansão reversível e adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. O gás expande de 1 litro para 10 litros, começando com uma temperatura de 300 K. Precisamos calcular o trabalho mecânico realizado nesse processo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica relacionados a processos adiabáticos e as leis dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo adiabático reversível para um gás ideal. Em um processo adiabático, não há transferência de calor (Q = 0). Além disso, para um processo reversível, a transformação ocorre de forma lenta e controlada, permitindo que o sistema esteja em equilíbrio termodinâmico em todos os momentos. Para gases monoatômicos, a razão dos calores específicos (γ) é igual a 5/3.

Passo 3

Em um processo adiabático, a relação entre pressão § e volume (V) é dada por:
PV^gamma = constante
Onde γ é a razão dos calores específicos. Também, sabemos que para um gás ideal, $ PV = nRT $, onde n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura.

Passo 4

Para calcular o trabalho realizado em um processo adiabático reversível, a fórmula é:
W = P2 V2 - P1 V11 - gamma
Mas, como não temos a pressão final (P₂), podemos usar outra abordagem envolvendo as temperaturas inicial e final. Sabemos que:
TV^gamma - 1 = constante
Podemos encontrar a temperatura final (T₂) após a expansão usando essa relação.

Passo 5

Vamos calcular a temperatura final (T₂):
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Isolando T₂:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1
Substituindo os valores:
T2 = 300 , K ( 1 , L10 , L )^53 - 1
T2 = 300 , K ( 110 )^23
T2 approx 300 , K times 0.215 = 64.5 , K
Agora, vamos usar a fórmula do trabalho:
W = n Cv (T1 - T2)
Para um gás monoatômico, $ C_v = \frac{3}{2} R $. Então:
Cv = 32 R
W = 1 times 32 times 8.314 , J/mol·K times (300 - 64.5) , K
W = 32 times 8.314 times 235.5
W approx 1.5 times 8.314 times 235.5
W approx 2.5 times 235.5 times 8

Resposta

O trabalho mecânico realizado na expansão adiabática reversível é de aproximadamente 2.947 J.

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