Para um sistema fechado contendo um gás ideal acoplado a um pistão e a um banho térmico com temperatura constante T , o trabalho de expansão reversível do gás é dado por,
W=-n R T integralV 1^V2 d VV=-n R T ln V 2V 1
onde n e R correspondem respectivamente ao número de moles do gás e a constante do gás. Para 1 mol de gás ideal variando sua pressão de 20 atm a 2 atm durante uma expansão isotérmica reversível à 300 K , qual é o trabalho sofrido pelo gás?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal em um sistema fechado com um pistão e um banho térmico a uma temperatura constante de $ T = 300 , K $. O gás está se expandindo de forma reversível e isotérmica, ou seja, a temperatura não muda durante todo o processo. Precisamos calcular o trabalho realizado pelo gás quando a pressão diminui de $ P_1 = 20 , atm $ para $ P_2 = 2 , atm $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do trabalho em uma expansão isotérmica reversível:
T = 300 , K
Aqui, $ n $ é o número de moles do gás, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, e $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar os volumes $ V_1 $ e $ V_2 $ com as pressões $ P_1 $ e $ P_2 $. Como a temperatura é constante e o processo é isotérmico para um gás ideal, podemos usar a lei de Boyle, que diz que $ P_1V_1 = P_2V_2 $. Portanto:
V1
Substituindo os valores dados:
V2

Passo 3

Agora que temos a relação entre os volumes, vamos substituir na fórmula do trabalho:
W = -nRT ln(10)
Sabemos que $ n = 1 , mol $, $ R = 8,314 , J/(mol·K) $ e $ T = 300 , K $. Vamos substituir esses valores:
n = 1 , mol

Passo 4

Vamos calcular o valor numérico. Primeiro, calculamos $ \ln(10) $:
ln(10)
Agora substituímos:
ln(10) approx 2,3026
W = -1 times 8,314 times 300 times 2,3026

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica reversível é aproximadamente $ W \approx -5.748 \times 10^3 , J $. Isso significa que o gás realizou um trabalho de cerca de $ 5.748 \times 10^3 , J $ ao se expandir.

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