Uma molécula de gás tem velocidade de 400 m / s e colide elasticamente com outra molécula de mesma massa que está inicialmente em repouso. Após a colisão, a primeira molécula move-se numa direção a 45^circ. com a direção inicial. Determine a velocidade de cada molécula após a colisão e o ângulo formado com a direção de incidência pela molécula alvo ao recuar. (2,5 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem uma molécula de gás que está se movendo a 400 metros por segundo e ela bate de forma elástica com outra molécula que era idêntica e estava parada. Depois da colisão, a primeira molécula desvia 45 graus da direção original. A gente precisa descobrir quais são as velocidades das duas moléculas depois da colisão e qual o ângulo que a molécula parada faz com a direção inicial após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de quantidade de movimento e conservação de energia cinética, que valem para colisões elásticas. Como as massas são iguais, isso facilita um pouco os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as velocidades após a colisão. Vamos chamar a velocidade da primeira molécula depois da colisão de $ v_1 $ e a da segunda molécula de $ v_2 $. Também vamos chamar o ângulo que a segunda molécula faz com a direção inicial de $ \theta $.

Passo 3

Vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento nas direções $ x $ e $ y $.
Na direção $ x $:
x
Como as massas são iguais, podemos simplificar cancelando os $ m $:
y
Na direção $ y $:
x
Novamente, cancelando os $ m $:
m cdot u = m cdot v1 cdot cos(45^circ) + m cdot v2 cdot cos(theta)

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética. Para colisões elásticas, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma.
12 m u^2 = 12 m v1^2 + 12 m v2^2
Cancelando os termos comuns:
u^2 = v1^2 + v2^2

Passo 5

Temos agora um sistema de três equações:
  1. $ u = v_1 \cdot \cos(45^\circ) + v_2 \cdot \cos(\theta) $
  2. $ 0 = v_1 \cdot \sin(45^\circ) - v_2 \cdot \sin(\theta) $
  3. $ u^2 = v_1^2 + v_2^2 $
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ v_1 $, $ v_2 $ e $ \theta $.

Passo 6

Da segunda equação:
v1 cdot sin(45^circ) = v2 cdot sin(theta)
Sabemos que $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
sin(45^circ) = raiz22
Isso nos dá uma relação entre $ v_1 $ e $ v_2 $.

Passo 7

Vamos agora substituir $ v_1 $ da terceira equação:
v1
Substituindo na equação anterior:
v1 = raizu^2 - v2^2

Passo 8

Agora, vamos usar a primeira equação para expressar $ \cos(\theta) $ em termos de $ v_1 $ e $ v_2 $:
cos(theta)
Substituindo $ v_1 = \sqrt{u^2 - v_2^2} $:
v1

Passo 9

Agora, temos duas equações envolvendo $ v_2 $ e $ \theta $. Resolvendo esse sistema, podemos encontrar os valores de $ v_2 $ e $ \theta $.
Após resolver as equações, encontramos:
v2
E
theta
O ângulo $ \theta $ formado pela molécula alvo é de 45 graus.

Resposta

Após a colisão, ambas as moléculas têm velocidade de aproximadamente $ 282,84 , \mathrm{m/s} $. A molécula que estava inicialmente em repouso se move a um ângulo de $ 45^\circ $ em relação à direção inicial.

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