O momento de inércia de corpos rígidos é a soma do momento de inércia de cada uma das pequenas partículas que o compõem. Para corpos mais simétricos, uma boa parametrização e técnicas de integração permitem que o momento de inércia total seja obtido. Para algumas formas simples e comuns, temos expressões tabeladas, que podem ser utilizadas. Suponhamos uma casa esférica e um disco, ambos de massa 2,4kg e raio 0,6. Qual deles possui o maior momento de inércia? Considere que ambos giram ao redor de um eixo que atravessa seu centro, e que o eixo do disco atravessa perpendicularmente a sua superfície. Dado: momento da casca esférica lc=2/3mr², momento do disco le= 1/2mr². Marque a alternativa que possui a afirmação e os valores corretos. Escolha uma:
a. o disco possui maior momento de inércia. Ie = 0,22 kg . m² ; Id = 0,36 kg . m².
b. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,58 kg . m² ; Id = 0,36 kg . m².
c. o disco possui maior momento de inércia. Ie = 0,73 kg . m² ; Id = 1,06 kg . m².
d. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,58 kg . m² ; Id = 0,47 kg . m².
e. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,73 kg . m² ; Id = 0,47 kg . m².
a. o disco possui maior momento de inércia. Ie = 0,22 kg . m² ; Id = 0,36 kg . m².
b. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,58 kg . m² ; Id = 0,36 kg . m².
c. o disco possui maior momento de inércia. Ie = 0,73 kg . m² ; Id = 1,06 kg . m².
d. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,58 kg . m² ; Id = 0,47 kg . m².
e. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,73 kg . m² ; Id = 0,47 kg . m².
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma casa esférica e um disco, ambos com massa de 2,4 kg e raio de 0,6 metros. A pergunta é: qual desses objetos tem um momento de inércia maior quando eles giram em torno de um eixo que passa pelo centro deles? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e usar as fórmulas específicas para cada forma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia mede o resistência de um objeto a mudar seu estado de rotação. Basicamente, quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar ou parar de girar.
Passo 3
Agora, vamos ver as fórmulas que a questão nos deu:
-
Para uma casca esférica, o momento de inércia é dado por:
-
Para um disco, o momento de inércia é:
Aqui,
é a massa e
é o raio do objeto.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia para cada objeto usando as fórmulas acima. Primeiro, para a casca esférica:
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia para o disco:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos os momentos de inércia calculados:
- Casca esférica:
- Disco:
Comparando os valores, percebemos que a casca esférica tem um momento de inércia maior que o do disco.
Resposta
A alternativa correta é a d. a casca esférica possui maior momento de inércia. Ie = 0,58 kg·m² ; Id = 0,47 kg·m².