Para monitorar a saúde ecológica nos Everglades da Flórida, várias medidas são registradas em instantes diferentes. As temperaturas mínimas são registradas na estação de Garfield Bight e obtém-se a média de 30,377^circ C para 61 temperaturas medidas em 61 dias distintos. Supondo sigma=1,7^circ C, teste a afirmativa de que a temperatura média seja maior do que 30,0^circ C. Use o nível de significância de 0,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão sobre monitorar a saúde ecológica nos Everglades da Flórida, especificamente as temperaturas mínimas registradas na estação de Garfield Bight. A gente sabe que a média dessas temperaturas em 61 dias foi de 30,377^circ C. A gente quer testar se essa média realmente é maior do que 30,0^circ C. Para isso, vamos usar a estatística de teste apropriada e o nível de significância de 0,1. Vamos precisar entender como funciona o teste de hipótese para uma média, assumindo que o desvio padrão populacional ( sigma) é conhecido.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) é que a média das temperaturas é menor ou igual a 30,0^circ C, ou seja, não há aumento. A hipótese alternativa ( Ha) é que a média é maior que 30,0^circ C. Em termos matemáticos:
H0: mu <= 30,0^circ C
Ha: mu > 30,0^circ C

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da estatística de teste. Como conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 1,7^circ C), podemos usar o teste z. A fórmula para o z-score é:
z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • barx = 30,377 é a média amostral.
  • mu0 = 30,0 é a média hipotética.
  • sigma = 1,7 é o desvio padrão da população.
  • n = 61 é o tamanho da amostra.
Vamos substituir os valores:
z = 30,377 - 30,01,7 / raiz61 approx 0,3770,2166 approx 1,739

Passo 4

Agora que temos o valor do z, precisamos comparar com o valor crítico para o nível de significância de 0,1 em um teste unilateral à direita. Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, o valor crítico para $ \alpha = 0,1 $ é aproximadamente $ z_{crítico} = 1,28 $.

Passo 5

Vamos comparar o z calculado com o valor crítico:
  • Se $ z \geq z_{crítico} $, rejeitamos $ H_0 $.
  • Se $ z < z_{crítico} $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, $ 1,739 > 1,28 $, então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, há evidências suficientes para afirmar, com nível de significância de 0,1, que a temperatura média nos Everglades é maior do que 30,0^circ C.

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