Use o nível de significância de 0,05 para testar a afirmativa de que estudantes de estatística têm um QI médio superior a 110. Os dados amostrais são normalmente distribuídos e são resumidos pelas estatísticas n=25, barx=118,0 e s=10,7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai testar se os estudantes de estatística têm, em média, um QI superior a 110. Para isso, vamos usar uma técnica chamada teste de hipóteses, que faz parte da matéria de Estatística Inferencial. Vamos precisar dos dados fornecidos: tamanho da amostra ( n = 25), média amostral ( barx = 118,0) e desvio padrão ( s = 10,7). Além disso, vamos usar o nível de significância de 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é aquela que pensamos que pode ser verdadeira inicialmente, e a hipótese alternativa ( H1) é o que queremos provar.
  • Hipótese Nula ( H0): A média do QI dos estudantes de estatística é igual a 110.
    H0: mu = 110
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média do QI dos estudantes de estatística é maior que 110.
    H1: mu > 110

Passo 3

Como a amostra é pequena ( n < 30) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • mu0 é a média sob a hipótese nula,
  • s é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o valor de t com os nossos dados:
t = 118,0 - 11010,7 / raiz25 = 810,7 / 5 = 82,14 approx 3,738

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nosso nível de significância e graus de liberdade. Os graus de liberdade ( df) são:
df = n - 1 = 25 - 1 = 24
Usando uma tabela t ou uma calculadora de estatística, o valor crítico para df = 24 e nível de significância de 0,05 (teste unilateral) é aproximadamente 1,711.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
3,738 > 1,711
Como 3,738 é maior que 1,711, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, há evidências suficientes para concluir, com 95% de confiança, que os estudantes de estatística têm um QI médio superior a 110.

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