Use o nível de significância de 0,05 para testar a afirmativa de que estudantes de estatística têm um QI médio superior a 110. Os dados amostrais são normalmente distribuídos e são resumidos pelas estatísticas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai testar se os estudantes de estatística têm, em média, um QI superior a 110. Para isso, vamos usar uma técnica chamada teste de hipóteses, que faz parte da matéria de Estatística Inferencial. Vamos precisar dos dados fornecidos: tamanho da amostra (
), média amostral (
) e desvio padrão (
). Além disso, vamos usar o nível de significância de 0,05.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (
) é aquela que pensamos que pode ser verdadeira inicialmente, e a hipótese alternativa (
) é o que queremos provar.
-
Hipótese Nula (
): A média do QI dos estudantes de estatística é igual a 110. -
Hipótese Alternativa (
): A média do QI dos estudantes de estatística é maior que 110.
Passo 3
Como a amostra é pequena (
) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o teste t é:
Onde:
-
é a média da amostra, -
é a média sob a hipótese nula, -
é o desvio padrão da amostra, -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos calcular o valor de t com os nossos dados:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nosso nível de significância e graus de liberdade. Os graus de liberdade (
) são:
Usando uma tabela t ou uma calculadora de estatística, o valor crítico para
e nível de significância de 0,05 (teste unilateral) é aproximadamente 1,711.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
Como 3,738 é maior que 1,711, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, há evidências suficientes para concluir, com 95% de confiança, que os estudantes de estatística têm um QI médio superior a 110.