Uma montadora de automóveis, por intermédio do seu gerente de marketing, durante o lançamento de um novo carro do tipo popular, afirma que esse novo carro consome, em média, 10 litros de combustível a cada 100 km , com desvio padrão de 1,17 litro. Posteriormente, uma revista especializada em assuntos automobilísticos realizou pesquisa com uma amostra de 43 veículos da referida marca e modelo em condições normais de uso e tráfego, quando constatou consumo médio de 10,6 litros a cada 100 km . Ao nível de significância de 5%, pede-se o que a revista pode concluir sobre a hipótese levantada pelo gerente de marketing?
Fazer a conclusão calculando a estatística de teste e comparando com o valor de Z crítico;

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos lá! Temos uma montadora que afirma que o novo carro consome, em média, 10 litros de combustível a cada 100 km, com um desvio padrão de 1,17 litro. Uma revista fez uma pesquisa com 43 veículos desse modelo e descobriu que o consumo médio foi de 10,6 litros a cada 100 km. Queremos saber se essa diferença é significativa ou se pode ser apenas fruto do acaso. Para isso, vamos usar Testes de Hipótese na Estatística, mais especificamente o Teste Z, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Estabelecendo as Hipóteses
Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A média de consumo é igual a 10 litros.
    H0: mu = 10
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média de consumo é diferente de 10 litros.
    H1: mu neq 10
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos verificar se há diferença, seja para mais ou para menos.

Passo 3

Escolhendo o Nível de Significância e Determinando a Região Crítica
O nível de significância dado é de 5% (0,05), o que significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de cometer um erro tipo I (rejeitar H₀ quando ela é verdadeira).
Para um teste bilateral, esse nível de significância é dividido igualmente nas duas extremidades da distribuição normal. Portanto, cada cauda terá 2,5% (0,025).
O valor crítico Z para cada cauda a 2,5% é aproximadamente ±1,96. Isso significa que:
  • Se o nosso Z calculado for menor que -1,96 ou maior que +1,96, rejeitamos a hipótese nula.
  • Caso contrário, não rejeitamos H₀.

Passo 4

Calculando a Estatística de Teste (Z)
Vamos usar a fórmula do Teste Z para uma média conhecida:
Z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • Z = 10,6 - 101,17raiz43 é a média amostral = 10,6 litros
  • raiz43 approx 6,557 é a média hipotética = 10 litros
  • 1,176,557 approx 0,1784 é o desvio padrão = 1,17 litros
  • 10,6 - 10 = 0,6 é o tamanho da amostra = 43
Substituindo os valores:
Z = 0,60,1784 approx 3,366
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Agora, o numerador:
Então,

Passo 5

Comparando o Valor Calculado com o Valor Crítico
Nosso valor calculado de Z é 3,366.
Já definimos que os valores críticos são -1,96 e +1,96.
Como 3,366 é maior que 1,96, ele cai na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

A revista pode rejeitar a hipótese nula de que o consumo médio do carro é de 10 litros a cada 100 km ao nível de significância de 5%. Isso sugere que, de fato, o consumo médio observado é significativamente maior do que o anunciado.

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