O montante de determinado capital em um fundo de investimento, após o tempo t em anos, é dado pela fórmula M(t)=C.1,5t . Nessas condições, determine o tempo necessário para que um capital de R$ 800,00 investido gere um montante de R$ 4050,00.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre montante em fundos de investimento. Temos a fórmula do montante $ M(t) = C \cdot 1,5^t $, onde $ C $ é o capital inicial e $ t $ é o tempo em anos. Nosso objetivo é encontrar o tempo necessário para que um capital de R$800,00 se transforme em R$4050,00.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Capital inicial $ C = 800 $ reais
  • Montante desejado $ M(t) = 4050 $ reais
Queremos descobrir o $ t $ que satisfaz a equação:
C = 800

Passo 3

Para encontrar $ t $, vamos isolar a expressão exponencial. Dividimos ambos os lados da equação por 800:
t
4050800 = 1,5^t

Passo 4

Agora, para resolver a equação exponencial $ 1,5^t = 5,0625 $, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo dos dois lados:
1,5^t = 5,0625

Passo 5

Pela propriedade dos logaritmos, $ \log(a^b) = b \cdot \log(a) $. Então:
log(a^b) = b cdot log(a)

Passo 6

Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ \log(1,5) $:
t

Passo 7

Calculando os logaritmos:
log(5,0625) approx 0,7055
log(1,5) approx 0,1761
t approx 0,70550,1761 approx 4

Resposta

O tempo necessário para que um capital de R$800,00 se transforme em R$4050,00 é de aproximadamente 4 anos.

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