O montante de determinado capital em um fundo de investimento, após o tempo t em anos, é dado pela fórmula M(t)=C.1,5t . Nessas condições, determine o tempo necessário para que um capital de R$ 800,00 investido gere um montante de R$ 4050,00.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre montante em fundos de investimento. Temos a fórmula do montante $ M(t) = C \cdot 1,5^t $, onde $ C $ é o capital inicial e $ t $ é o tempo em anos. Nosso objetivo é encontrar o tempo necessário para que um capital de R$800,00 se transforme em R$4050,00.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- Capital inicial $ C = 800 $ reais
- Montante desejado $ M(t) = 4050 $ reais
Queremos descobrir o $ t $ que satisfaz a equação:
Passo 3
Para encontrar $ t $, vamos isolar a expressão exponencial. Dividimos ambos os lados da equação por 800:
Passo 4
Agora, para resolver a equação exponencial $ 1,5^t = 5,0625 $, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo dos dois lados:
Passo 5
Pela propriedade dos logaritmos, $ \log(a^b) = b \cdot \log(a) $. Então:
Passo 6
Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ \log(1,5) $:
Passo 7
Calculando os logaritmos:
Resposta
O tempo necessário para que um capital de R$800,00 se transforme em R$4050,00 é de aproximadamente 4 anos.