Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, em metros, é

Passo 1

Vamos analisar o problema: uma pessoa observa o topo de uma torre sob Ângulos de 30º e 45º em duas posições diferentes, sendo que ela se aproxima 40 metros. Vamos usar trigonometria, especificamente tangente de ângulos, para encontrar a altura da torre.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine a torre com altura $ h $ metros. Inicialmente, a pessoa está a uma distância $ d $ da base da torre, observando o topo sob um ângulo de 30º.

Passo 3

Quando a pessoa se aproxima 40 metros, a nova distância da torre é $ d - 40 $ metros, e o ângulo de visão sobe para 45º.

Passo 4

Usaremos a função tangente, que relaciona o ângulo de visão com a altura e a distância:
tan(theta) = aâ

Passo 5

Aplicando para o primeiro ponto de observação (30º):
tan(30º) = hd implies h = d cdot tan(30º) ºº
Sabemos que $ \tan(30º) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, então:
tan(30º) = raiz33

Passo 6

Para o segundo ponto de observação (45º):
tan(45º) = hd - 40 implies h = (d - 40) cdot tan(45º) ºº
Sabemos que $ \tan(45º) = 1 $, então:
tan(45º) = 1

Passo 7

Agora temos duas expressões para $ h $:
  1. $ h = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $
  2. $ h = d - 40 $
Igualando as duas equações:
h

Passo 8

Vamos resolver para $ d $:
d
d - d cdot raiz33 = 40
d (1 - raiz33) = 40

Passo 9

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ 3 + \sqrt{3} $ (racionalizando o denominador):
3 + raiz3

Passo 10

Agora, substituímos $ d $ na equação $ h = d - 40 $:
d

Resposta

A altura aproximada da torre é de 55 metros.

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