Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, em metros, é
Passo 1
Vamos analisar o problema: uma pessoa observa o topo de uma torre sob Ângulos de 30º e 45º em duas posições diferentes, sendo que ela se aproxima 40 metros. Vamos usar trigonometria, especificamente tangente de ângulos, para encontrar a altura da torre.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine a torre com altura $ h $ metros. Inicialmente, a pessoa está a uma distância $ d $ da base da torre, observando o topo sob um ângulo de 30º.
Passo 3
Quando a pessoa se aproxima 40 metros, a nova distância da torre é $ d - 40 $ metros, e o ângulo de visão sobe para 45º.
Passo 4
Usaremos a função tangente, que relaciona o ângulo de visão com a altura e a distância:
Passo 5
Aplicando para o primeiro ponto de observação (30º):
Sabemos que $ \tan(30º) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, então:
Passo 6
Para o segundo ponto de observação (45º):
Sabemos que $ \tan(45º) = 1 $, então:
Passo 7
Agora temos duas expressões para $ h $:
- $ h = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $
- $ h = d - 40 $
Igualando as duas equações:
Passo 8
Vamos resolver para $ d $:
Passo 9
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ 3 + \sqrt{3} $ (racionalizando o denominador):
Passo 10
Agora, substituímos $ d $ na equação $ h = d - 40 $:
Resposta
A altura aproximada da torre é de 55 metros.