Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas amarelas acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos as lâmpadas vermelhas acendem?
a)6
b)9
c)12
d)15
e)18

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Rodrigo observou que diferentes lâmpadas acendem em intervalos de tempo específicos:
  • Amarelas: a cada 45 segundos
  • Verdes: a cada 60 segundos
  • Azuis: a cada 27 segundos
  • Vermelhas: só acendem quando as outras cores estão acesas ao mesmo tempo
A pergunta é: De quantos em quantos minutos as lâmpadas vermelhas acendem?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Mínimo Múltiplo Comum (MMC), que nos ajuda a encontrar o menor tempo em que todas as lâmpadas (amarela, verde e azul) acendem simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os intervalos de tempo das lâmpadas em segundos:
  • Amarelas: 45 segundos
  • Verdes: 60 segundos
  • Azuis: 27 segundos
Nosso objetivo é encontrar o MMC desses três números. O MMC é o menor número que é múltiplo de todos eles.

Passo 3

Vamos fatorar cada número em números primos:
  • 45:
    45 = 3 times 3 times 5 = 3^2 times 5
  • 60:
    60 = 2 times 2 times 3 times 5 = 2^2 times 3 times 5
  • 27:
    27 = 3 times 3 times 3 = 3^3

Passo 4

Para calcular o MMC, pegamos cada fator primo com a maior potência que aparece nas fatorações:
  • 2: A maior potência é 2^2 (do 60)
  • 3: A maior potência é 3^3 (do 27)
  • 5: A maior potência é 5 (presente no 45 e 60)
Então, o MMC será:
MMC = 2^2 times 3^3 times 5 = 4 times 27 times 5 = 4 times 135 = 540 segundos

Passo 5

Agora, vamos converter os 540 segundos para minutos, já que a pergunta pede a resposta em minutos:
540 segundos div 60 = 9 minutos

Resposta

As lâmpadas vermelhas acendem a cada 9 minutos.
Alternativa correta: b) 9

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