Mostrar que:
(i) Se f é uma função polinomial, então lim x a f(x)=f(a) para todo real a.
Dica: uma funcdo polinomial e dd formad p(x)=an x^n+partialn-1 x^n-1+ldots+partial1 x+d0, n in N, partiali in | R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se é uma função polinomial, então o limite de quando se aproxima de qualquer número real é igual a . Estamos trabalhando com limites e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites e a definição de função polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é uma função polinomial. Ela tem a forma:
p(x) = an x^n + an-1 x^n-1 + ldots + a1 x + a0
Onde é um número natural e os são coeficientes reais.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite que queremos calcular:
limx to a p(x)
Substituindo a forma da função polinomial, temos:
limx to a (an x^n + an-1 x^n-1 + ldots + a1 x + a0)

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos utilizar a propriedade da linearidade dos limites, que diz que o limite da soma é a soma dos limites. Ou seja:
limx to a p(x) = an limx to a x^n + an-1 limx to a x^n-1 + ldots + a1 limx to a x + a0 limx to a 1

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um desses limites individuais. Sabemos que:
limx to a x^k = a^k para qualquer k in N
limx to a 1 = 1
Então, substituindo:
an a^n + an-1 a^n-1 + ldots + a1 a + a0

Passo 6

Observe que a expressão resultante é exatamente p(a) = an a^n + an-1 a^n-1 + ldots + a1 a + a0 , ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que:
limx to a p(x) = p(a)

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