Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Dar exemplos de dois outros números positivos para de, que também satisfazem a implicação dada.
12. lim x -1(-3 x+7)=10, varepsilon=0,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre limites de funções e a definição de - . Precisamos encontrar um número correspondente a um dado, de forma que a diferença entre e o limite seja menor que sempre que estiver suficientemente próximo de . No nosso caso, a função é , o limite quando se aproxima de é , e . Vamos descobrir qual atende a esses critérios e também dar dois exemplos de outros valores de que funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando e . Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Ou seja, podemos tornar tão próximo de quanto quisermos escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

No nosso exercício, temos:
Queremos encontrar tal que sempre que .

Passo 4

Vamos calcular |f(x) - 10| = |-3x + 7 - 10| = |-3x - 3| :
|-3x - 3| = 3|x + 1|
Podemos fatorar o -3:
3|x + 1| < 0,5
Então, temos:

Passo 5

Agora, queremos que |x + 1| < 0,53 approx 0,1667 . Vamos isolar :
Portanto, podemos escolher .

Passo 6

Calculando de:
Isso significa que sempre que , então .

Passo 7

Além disso, podemos escolher outros valores de que também satisfaçam a condição . Por exemplo:
  • Se escolhermos , que é menor que , a condição ainda será satisfeita.
  • Se escolhermos , novamente menor que , a condição permanece verdadeira.

Resposta

Para , podemos escolher . Outros exemplos de que também satisfazem a condição são e .

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