Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
12.
.
12.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre limites de funções e a definição de
-
. Precisamos encontrar um número
correspondente a um
dado, de forma que a diferença entre
e o limite
seja menor que
sempre que
estiver suficientemente próximo de
. No nosso caso, a função é
, o limite quando
se aproxima de
é
, e
. Vamos descobrir qual
atende a esses critérios e também dar dois exemplos de outros valores de
que funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Ou seja, podemos tornar
tão próximo de
quanto quisermos escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
No nosso exercício, temos:
Queremos encontrar
tal que
sempre que
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Podemos fatorar o -3:
Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos que
. Vamos isolar
:
Portanto, podemos escolher
.
Passo 6
Calculando
:
Isso significa que sempre que
, então
.
Passo 7
Além disso, podemos escolher outros valores de
que também satisfaçam a condição
. Por exemplo:
- Se escolhermos
, que é menor que , a condição ainda será satisfeita. - Se escolhermos
, novamente menor que , a condição permanece verdadeira.
Resposta
Para
, podemos escolher
. Outros exemplos de
que também satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
11. .
11.
Questão Bonus!!! Calcule
Mostrar que:
(i) Se é uma função polinomial, então
para todo real
.
Dica: uma funcdo polinomial e dd formad .
(i) Se
Dica: uma funcdo polinomial e dd formad